lim x->0 (e^X -1)/x = 1 Wieso kann der Nenner hier gegen Null?
Ich hatte diese Formel in meinen Vorlesungsunterlagen einfach so gegeben. Ich frage mich wirklich wie man hier auf die Lösung kommt, wenn man ja sonst nicht durch Null teilen darf. Vllt gibt es ja auch eine Umformung auf die ich einfach nicht komme. Stehe kurz vor den Klausuren, würde mich über schnelle Hilfe freuen
mfg
6 Antworten
Hallo,
die sauberste Lösung ist die von eterneladen: Potenzreihe von e^x um x0=0 entwickeln, die 1 aus dem Zähler abziehen, anschließend durch x kürzen und zum Schluß x gegen Null gehen lassen. So bleibt als Grenzwert 1 übrig.
Wenn Du einfach nur den Grenzwert bestimmen und belegen sollst, tut's auch die Regel von de l'Hospital. Da Zähler und Nenner gegen 0 gehen, darfst Du sie hier anwenden.
Leitest Du Zähler und Nenner getrennt ab, bekommst Du e^x/1, also e^x - und das geht für x gegen 0 gegen 1.
Herzliche Grüße,
Willy
Hier kann man über die Potenzreihe der Exponentialfunktion das x explizit kürzen.
Es wäre noch nett, wenn der Ausdruck in einer Weise dargestellt wäre, die man eindeutig entziffern könnte.
(Entweder korrekte Bruch-Darstellung oder aber alle notwendigen Klammern hinschreiben !)
Man darf zwar nicht durch 0 teilen, aber ein Bruch, bei dem sowohl Zähler wie auch Nenner gegen 0 gehen kann jeden beliebigen Grenzwert annehmen. Beispiel:
Ich muss ein wenig Schmunzeln, da Du eigentlich in Deiner Frage den Unterschied - wohl unbewusst - sprachlich schon zum Ausdruck bringst:
Im Titel: Wieso kann der Nenner hier gegen Null
Im Text: ... wenn man ja sonst nicht durch Null teilen darf
Und das eine ist nicht das andere.