Letze Ziffern einer Potenz ermitteln?
Ich muss die letzten beiden Ziffern von der Potenz 7^100 berechnen, habe aber keine Ahnung wie ich das anstellen soll...
5 Antworten
Folgender "Trick" hilft:
7^1 = 7 -> 7
Für 7^2 -> ? nehm die letzte "letzte Stelle" und die *7, also 7*7=49 -> 9
Dann für 7^3 folgt 9*7=63 -> 3
7^4 folgt 3*7= 21 -> 1
7^5 folgt 1*7 = 7
Jetzt bis du wieder am Anfang deines Loops angekommen.
Also gilt quasi
1 -> 7
2 -> 9
3 -> 3
4 -> 1
5 -> 7
6 -> 9
usw.
Da 100/4 genau teilbar ist hast du exakt 25 solcher Abläufe. Die Zahl ist dann also 1.
Grüße
Rechne modulo 100:
Das sind die letzten beiden Ziffern. Und den Wert dieses Ausdrucks kannst du einfach mit modularer Exponentiation (Square and Multiply) ermitteln. Ergebnis: 01.
Schau' dir mal dir letzten beiden Ziffern von 7, 7^2, 7^3... an - stellst du da irgendwelche Regelmäßigkeit fest?
Tip: Du musst nie die wirkliche Zahl ausrechnen, wenn dich nur die letzten beiden Ziffern interessieren; du kannst einfach die letzten beiden Ziffern der vorherigen Potenz nehmen und die mit 7 multiplizieren, und dann von der Zahl wieder nur die letzten beiden Ziffern nehmen.
Beispiel:
7^3 - Letzten beiden Ziffern sind 43.
7^4 - Berechne 43 * 7 = 301, die letzten beiden Ziffern sind 01
Schreibe mal deine Vermutung in eine Antwort, dann kann ich gerne weiterhelfen oder schauen, ob du das richtig gemacht hast!
schreib die Reihe der Endziffern auf von 7*7*7*....und guck ob es einen Zyklus gibt
7*7 = Endziffer 9 ......dann mal 7 : EZ : 3 ..............1 .................7 ............aha wieder 9 , 3 , 1..............
und nun noch gucken welche bei 100 hinkommt .........
bei 7 hoch 2 : 9
bei 7 hoch 3 : 3
bei 7 hoch 4 : 1
bei 7 hoch 5 : 7
7*7=49 (^2)
*7=..3 (^3)
*7=..1 (^4)
*7=...7 (^5)
*7=...9 (^6)