Letze Ziffern einer Potenz ermitteln?
Ich muss die letzten beiden Ziffern von der Potenz 7^100 berechnen, habe aber keine Ahnung wie ich das anstellen soll...
5 Antworten
schreib die Reihe der Endziffern auf von 7*7*7*....und guck ob es einen Zyklus gibt
7*7 = Endziffer 9 ......dann mal 7 : EZ : 3 ..............1 .................7 ............aha wieder 9 , 3 , 1..............
und nun noch gucken welche bei 100 hinkommt .........
bei 7 hoch 2 : 9
bei 7 hoch 3 : 3
bei 7 hoch 4 : 1
bei 7 hoch 5 : 7
Folgender "Trick" hilft:
7^1 = 7 -> 7
Für 7^2 -> ? nehm die letzte "letzte Stelle" und die *7, also 7*7=49 -> 9
Dann für 7^3 folgt 9*7=63 -> 3
7^4 folgt 3*7= 21 -> 1
7^5 folgt 1*7 = 7
Jetzt bis du wieder am Anfang deines Loops angekommen.
Also gilt quasi
1 -> 7
2 -> 9
3 -> 3
4 -> 1
5 -> 7
6 -> 9
usw.
Da 100/4 genau teilbar ist hast du exakt 25 solcher Abläufe. Die Zahl ist dann also 1.
Grüße
Rechne modulo 100:
Das sind die letzten beiden Ziffern. Und den Wert dieses Ausdrucks kannst du einfach mit modularer Exponentiation (Square and Multiply) ermitteln. Ergebnis: 01.
Schau' dir mal dir letzten beiden Ziffern von 7, 7^2, 7^3... an - stellst du da irgendwelche Regelmäßigkeit fest?
Tip: Du musst nie die wirkliche Zahl ausrechnen, wenn dich nur die letzten beiden Ziffern interessieren; du kannst einfach die letzten beiden Ziffern der vorherigen Potenz nehmen und die mit 7 multiplizieren, und dann von der Zahl wieder nur die letzten beiden Ziffern nehmen.
Beispiel:
7^3 - Letzten beiden Ziffern sind 43.
7^4 - Berechne 43 * 7 = 301, die letzten beiden Ziffern sind 01
Schreibe mal deine Vermutung in eine Antwort, dann kann ich gerne weiterhelfen oder schauen, ob du das richtig gemacht hast!
7*7=49 (^2)
*7=..3 (^3)
*7=..1 (^4)
*7=...7 (^5)
*7=...9 (^6)