Was ist die letzte Ziffer von 3715290469715693021198967285016729344580685479654510946723 hoch 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651?
Frage steht 1:1 im Titel.
Ich habe keine Ahnung. Es sollte dafür denk ich Regeln geben, sowas wie die Zahlen sind beide ungerade, deshalb kann die letzte Ziffer von a hoch b nur x sein.
Nennt mit bitte eure Ideen, einen Weg, die letzte Ziffer zu ermitteln ohne die Zahlen miteinander zu potenzieren.
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Spiderpig42/1523388482957_nmmslarge__104_37_406_406_4da7f0d1c5f707b4309bf110dfc99311.jpg?v=1523388483000)
Wenn man 2 Zahlen a und b miteinander multipliziert, dann wird die letzte Ziffer des Ergebnisses nur von den letzten Ziffern von a und b beeinflusst.
Du kannst das Ganze also schon mal vereinfachen zu
3 hoch 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651
Damit weißt du, dass nur die Ziffern 3, 9, 7 und 1 in Frage kommen.
Als nächstes siehst du, dass der Exponent ungerade ist. Daraus ergibt sich dann, dass das Ergebnis nur 3 oder 7 sein kann.
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3^1 = 3 -> 3
3^2 = 9 -> 9
3^3 = 27 -> 7
3^4 = 81 -> 1
usw.
3^5 -> 3
3^6 -> 9
3^7 -> 7
3^8 -> 1
Das Ganze geht immer im Kreis. 3,9,7,1,3,9,7,1, usw.
Bei geraden Exponenten kommt immer eine 9 oder 1 raus.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/jonschneee/1552659205751_nmmslarge__0_32_360_360_2f6a64fd570eee2e7f76318705d6be8b.jpg?v=1552659206000)
Es kommt immer zyklisch 9, 7, 1 und 3 raus. 7 und 3 bei ungeradem Exponenten, 9 und 1 bei geradem. Jetzt kommt es nur noch darauf an, ob der Exponent durch 3 teilbar ist oder nicht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ranger1111/1664398651580_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1664398652000)
Was willst du denn über Teilbarkeit durch 3 herausfinden? Man müsste doch bei ungeradem Exponenten "2k + 1" herausfinden, ob k gerade oder ungerade ist. Oder täusche ich mich?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/jonschneee/1552659205751_nmmslarge__0_32_360_360_2f6a64fd570eee2e7f76318705d6be8b.jpg?v=1552659206000)
Stimmt, das mit der Teilbarkeit durch 3 war nicht richtig. Danke.
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Richtig ist folgende Überlegung: Da zyklisch immer 3, 9, 7 und 1 herauskommt und nur 7 und 3 in Frage kommen, kommt es darauf an, ob (Exponent mod 4) = 1 oder = 3 ist. Im ersten Fall wäre 3 die Lösung, im zweiten Fall 7. (Exponent mod 4) ist aber = 3, da (Exponent - 3) durch 4 teilbar ist, denn (Exponent - 3) hat die Endziffer 8. (Exponent - 1) dagegen hat die Endziffern 50, was nicht durch 4 teilbar ist. Also ist 7 die Lösung.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ranger1111/1664398651580_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1664398652000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das ist Sehr gut, nur brauche ich einen Weg, ein definitives Ergebnis zu erhalten. Ich brauche das Ergebnis, da ich weiß, dass es 7 ist, nur ich nicht weiß wie ich genau auf die 7 komme.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Spiderpig42/1523388482957_nmmslarge__104_37_406_406_4da7f0d1c5f707b4309bf110dfc99311.jpg?v=1523388483000)
Wenn du von der Zahl 3 abziehst, erhältst du als letzte Ziffer eine 8 und die ist durch 4 teilbar. Ziehst du dagegen nur 1 ab, dann hast du eine 0 und die ist lediglich durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. Folglich kann die Lösung nur 7 sein.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Mathmaninoff/1704745391471_nmmslarge__1695_321_1367_1367_04807a3833f4d5bf6750ff3b5b0f7279.jpg?v=1704745392000)
Dass die letzte Ziffer von der Potenz nur von der letzten Ziffer der Basis abhängt, kann man aus dem Binomischen Lehrsatz ableiten.
Wenn man (10a + b)(10a + b)(10a + b)...(10a + b) ausmultipliziert, ist nur der Summand, den man erhält, wenn man in jeder Klammer b auswählt, nicht notwendigerweise durch 10 teilbar. Die Zahl (10a + b)ⁿ hat also dieselbe Endziffer wie bⁿ.
In diesem Fall ist b = 3.
Berechnen wir bⁿ für n ∈ {0, 1, 2, 3, 4}:
3⁰ = 1
3¹ = 3
3² = 9
3³ = 27
3⁴ = 81
Wir sehen, die Endziffer 1 wiederholt sich beim vierten Mal. Das heißt, wenn n durch 4 teilbar ist, ist die Endziffer auch wieder 1, denn wenn n = 4k, kann man schreiben 3ⁿ = 3⁴ᵏ = 81ᵏ und wie wir bereits gesehen haben, ist die Endziffer von (80 + 1)ᵏ gleich 1ᵏ = 1.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist. In dem Fall hätte die nächstkleinere durch 4 teilbar Zahl die Endziffern 48 und die Endziffer von der Potenz wäre dann 1. Jetzt muss man nur noch 3³ multiplizieren. Die Endziffer der gesamten Potenz ist somit 7.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ranger1111/1664398651580_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1664398652000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Genial, für mich sogar etwas zu genial. Dennoch kann ich das noch knapp nachvollziehen, vielen dank.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Damit ich die Zahlen nicht allzu oft ausschreiben muss definiere ich...
a = 3715290469715693021198967285016729344580685479654510946723
i = 68819615221552997273737174557165657483427362207517952651
Gesucht ist nun (im Dezimalsystem) die letzte Ziffer von aⁱ.
Die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem ist gleich dem Rest bei Division durch 10. Gesucht ist also:
=============
Nun würde ich zunächst den Satz von Euler nutzen.
Es ist...
Für jede natürliche Zahl a mit ggT(a, 10) = 1 ist nun...
[Die Bedingung ggT(a, 10) = 1 ist im konkreten Fall offensichtlich erfüllt, da a nicht 0, 2, 4, 8 oder 5 als Endziffer hat, also nicht durch 2 oder 5 teilbar ist, wobei 2 und 5 die Primfaktoren von 10 sind.]
Damit erhält man dann weiter...
Wegen
erhält man...
Des Weiteren ist...
Dabei ist a mod 10 gleich der letzten Ziffer von a, also gleich 3.
Damit erhält man dann...
Ergebnis: Die gesuchte Ziffer ist 7.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PhotonX/1444747801_nmmslarge.jpg?v=1444747801000)
51 mod 4 ist 3 und nicht 1, denn 50 ist nicht teilbar durch 4, ansonsten passt's!
![](https://images.gutefrage.net/media/user/jonschneee/1552659205751_nmmslarge__0_32_360_360_2f6a64fd570eee2e7f76318705d6be8b.jpg?v=1552659206000)
Kann schon mal nur 3, 9, 7 oder 1 sein, denn 3*3=9, 9*3=27, 7*3=21, 1*3=3. Der Exponent ist ungerade, also kommt nur 7 oder 3 in Frage.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wie kommst du auf 9*3, 3*3, 7*3 und 1*3? Warum diese Zahlen und nicht keine Ahnung sowas wie 3*4?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/jonschneee/1552659205751_nmmslarge__0_32_360_360_2f6a64fd570eee2e7f76318705d6be8b.jpg?v=1552659206000)
Wenn Du die 3 immer wieder mit sich selbst multiplizierst, kommt als letzte Ziffer immer eine 9, 7, 1 oder 3 raus.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ranger1111/1664398651580_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1664398652000)
Ich glaube es wird so gehen:
Guck ob der Exponent durch 2, 3, 4 und 5 teilbar ist. Falls alles nicht zutrifft, so ist er vielleicht durch 7 teilbar.
Die Basis hat eine 3 am Ende. Zahlen mit der 3 am Ende ergeben mit sich selbst multipliziert in der letzten Ziffer zyklisch eine 3, 9, 7 und 1.
Das sollte schon in die richtige Richtung führen.
Und wenn der Exponent gerade wäre? Oder anders wieso ausgerechnet die Zahlen 3 und 7?