Basis berechnen (Ergebnis gegeben) - Potenzen
Hallo,
ich komme nicht auf die Rechenregel bzw. den Rechenweg.
Die Aufgabe lautet: b^(3:2) = 125 Ich soll die Basis b berechnen wie stelle ich das an?
Danke - LG Crash
4 Antworten
also b^(3:2) kann man umschreiben, und zwar: wurzel aus(b^3) = 125 dann rechnest du auf beiden seiten hoch zwei um die wurzel wegzubekommen, und erhälst so: b^3 = 125^2
jetzt musst du nur noch nach b auflösen und dazu rechnest auf beiden seiten die dritte wurzel aus.
ergebnis: b = 25
(1) Mit Potenzrechnen kommst du zu einer allgemeinen Regel für solche Fälle:
[b^m]^n = b^(m * n)
[ b^(x/y) ] ^(y/x) = b^( (x/y) * (y/x) ) = b^1 = b;
einen gebrochenen Exponenten "kriegst du weg", indem du mit dem Kehrbruch potenzierst
(2) Deine Aufgabe:
b ^ (3/2) = 125; | beide Seiten ^(2/3)
b = 125^(2/3);
das lässt sich so in den Taschenrechner eingeben (Rechnung in einem Schritt).
(3) Wenn du dich ein wenig mit Potenzen beschäftigt hast, erkennst du vielleicht:
125 = 5 * 25 = 5^1 * 5^2 = 5^3;
deswegen ist
b = 125^(2/3) = (5^3) ^ (2/3) = 5^(3 * 2/3) = 5^2 = 25;
es geht also alles mit Potenzrechnen (ich brauchte keinen Taschenrechner, weil ich 125 = 5^3 zufällig im Kopf habe).
(4) Was hier schon steht (z.B. a^(1/3) = dritte Wurzel aus a usw.) ist durchaus lesens- und wissenswert, auch wenn nun gerade diese Aufgabe auch "ohne" geht.
Nützlich ist diese ausführliche Erklärung zum Rechnen mit Potenzen:: http://www.mathe-online.at/mathint/pot/i.html
Dort ist Formel (10) für Dich hier interessant: a^(p/q) = (a^(1/q))^p = (a^p)^(1/q)
Daraus folgt nämlich:
b^(3:2) ist das gleiche wie (b^3)^(1/2) und auch wie (b^(1/2))^3
Du kannst nun also mit b^(3:2) = 125 zwei Wege gehen. Beide funktionieren, aber einer ist leichter:
- Bei (b^3)^(1/2) = 125 auf beiden Seiten das Quadrat bilden und dann die dritte Wurzel ziehen.
- Bei (b^(1/2))^3 = 125 auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen und dann das Quadrat bilden.
Wenn Du die Zahl 125 genau anschaust, wirst Du sehen, daß ihre dritte Wurzel ziemlich leicht zu ziehen ist.
OK?
.
erst die dritte Wurzel ziehen, dann quadrieren
das ist doch Bödsinn!
Nein, ist es nicht. Selbst wenn, kann man das auch höflicher schreiben!
Von was soll denn die Wurzel gezogen werden?
Sowohl von b^(3:2) als auch 125. Das nennt sich Äquivalenzumformung (Stoff der 8. Klasse) und ergibt b^(1/2) = 5.
Wieder mal: Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal die ... halten!
Richtig! Aber wenn man nach b auflöst muss man die Wurzel durch ² und die ³ durch eine 3.-Wurzel auflösen.
Sry aber wie kann ich auf einem Taschenrechner (welche Taste...) die dirtte Wurzel ziehen?
Man muß nur wissen, daß die n-te Wurzel aus x nichts anderes ist als x hoch (1/n).
Die dritte Wurzel aus x ist also x hoch (1/3).
Dafür nimmt man die Potenztaste (Meist heißt sie "y hoch x" oder so ähnlich). Z.B. bei diesem älteren Modell über der Divisionstaste: http://www.thimet.de/calccollection/calculators/ti-59/TI-59-M.JPG
das ist doch Bödsinn! Von was soll denn die Wurzel gezogen werden?