Kurvendiskussion?
Wenn man eine Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion macht, muss man das Verhalten im +- Unendlich auch betrachten? Ich habe mehrere Lösungen bei denen das Verhalten im Unendlichen nicht betrachtet wurde.
Und was ist der Unterschied zwischen Verhalten in +- Unendlich und Verhalten an den Polstellen? Benutzt man bei beiden L'Hospital?
2 Antworten
Bei uns gehörte bei Kurvendiskussionen der Punkt "Grenzwertverhalten" immer zu den ganzen abzuarbeitenden Eigenschaften, um letztendlich aus den einzelnen Ergebnissen den Graphen genauer zeichnen zu können.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen wird evtl. auch noch die Asymptote bestimmt und mit eingezeichnet, um den Graphen Richtung unendlich exakter zeichnen zu können.
Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, betrachtet man jeweils nur die höchsten Potenzen samt Vorfaktor und schaut, was nach dem Kürzen übrig bleibt und was damit im Unendlichen passiert ("mathematisch" klammert man aus Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz aus, kürzt das Ausgeklammerte und lässt dann x gegen +/- - Unendlich laufen). L'Hospital ginge theoretisch auch, aber vorbeschriebene Methode ist wohl weniger aufwendig, als zig-mal abzuleiten (mit ein klein wenig Übung sieht man bei gebrochen-rationalen Funktionen sofort die Grenzwerte).
Bzgl. der Grenzwerte an den Polstellen wirst du die Polstelle im Zähler einfach einsetzen können. Wenn nicht, kannst Du (x minus Polstelle) in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen - ist der Nennerterm danach an dieser Stelle definiert, liegt eine (be-)hebbare Definitionslücke vor. Hast du die Polstelle im Zähler eingesetzt, prüfst du im Nenner von links kommend Werte "kurz vor" der Polstelle und von rechts kommend knapp hinter der Polstelle, und bestimmst so, ob der Nenner dann positiv oder negativ ist. Mit dem Zählervorzeichen "verrechnet" ergibt sich dann das Vorzeichen des Grenzwerts (plus- oder minus-Unendlich).
ich find, das die Grenzwerte für x gegen plus/minus Unendlich dazugehören...
kommt aber na klar auf die Aufgabenstellung und auf den Lehrer an...
Polstellen sind ja endliche Werte... und da hat man zwei Grenzwerte.... einen von links und einen von rechts... aber von den Symbolen her, läuft auch das iwann wieder auf Grenzwert gegen plus/minus Unendlich hinaus...
oder?
sobald du den Schritt von „x-->a+“ zu „h-->+inf“ gemacht hast, isses in der Tat das Gleiche...
Und was ist dabei jetzt der Unterschied bei der Berechnung?..