Vorzeichenwechsel bei gebrochen rationalen Funktionen erkennen (Polstellen)?
Hallo!
Da unser Mathelehrer zu unfähig war uns das zu erklären, frage ich nochmal hier. Wie erkenne ich bzw. berechne ich wann denn ein Vorzeichenwechsel bei gebrochen rationalen Funktionen auftritt bzw. bei Polstellen?
3 Antworten
Bei Nullstellen hast du immer einen Vorzeichenwechsel, wenn es sich um einen Schnittpunkt handelt. Es handelt sich um einen Berührpunkt (keinen Schnittpunkt), wenn die Nullstelle von der Vielfachheit gerade ist.
Bei Polstellen musst du den links- und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen.
Beispiel:
1/x bei x=0 Vorzeichenwechsel
1/x² bei x=0 kein Vorzeichenwechsel
Hallo,
das einfachste:
Zähle zu x an der zu untersuchenden Stelle eine kleine Zahl dazu und berechne den Funktionswert; anschließend ziehe dieselbe Zahl von diesem x-Wert ab und berechne auch diesen Funktionswert - dann siehst Du, ob ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat. Du mußt nur aufpassen, daß zwischen x und x+h und x und x-h keine Nullstelle liegt. h steht hier für einen kleinen Wert.
Du kannst auch für x einmal x+h und einmal x-h in die Funktionsgleichung einsetzen und dann den Grenzwert für h gegen Null bestimmen - das ist die korrekte Variante, die andere tut's für den Hausgebrauch aber auch.
Herzliche Grüße,
Willy
Du setzt einfach einen Punkt kurz vor und einen kurz hinter der Polstelle ein; dann siehst Du, ob der Bruch positiv oder negativ ist.
kleines Beispiel:
f(x)=x²/(x-1)
Die Polstelle ist bei x=1.
Kommst Du von links an die Polstelle, also x<1, dann ist der Nenner negativ; der Zähler ist hier immer positiv, d. h. der Bruch ist negativ...
Kommst Du von rechts, also x>1 Richtung Polstelle, dann ist der Nenner positiv, wie auch der Zähler, und somit der ganze Bruch, d. h. Du hast von links kommend ein anderes Vorzeichen als von rechts.
f(x)=(x²+1)/x²
Polstelle bei x=0; egal, ob Du von links oder rechts an die Null rankommst, Zähler und Nenner sind immer positiv, d. h. es gibt keinen Vorzeichenwechsel.