Klammern auflösen bei quadratischen Gleichungen?
Wir haben gerade Quadratische Gleichungen in der Schule und eigentlich verstehe ich alles, nur nicht wie man Klammern auflöst. Beispiele: a) ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) = 0 oder b) 2x ( x - 3 ) = 5 - ( x² - 4 )
7 Antworten
Bei den quadratischen Gleichungen und auch den binomischen Formeln musst du fast immer ausmultiplizieren.
Das geht wie folgt (Beispiele):
2 (a+b) = 2*a + 2*b
5 (3-a) = 5*3 - 5*a
(a+b) (c-d) = a*c - a*d + b*c - b*d
Kommen wir zu deinen Aufgaben:
a) ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) = 0
1*5x + 1*2 -3x*5x - 3x * 2 = 0
5x + 2 - 15x² - 6x = 0
-15x² - x + 2 = 0
Hier könntest du nun die pq- oder abc-Formel anwenden, um die Lösungsmenge zu berechnen.
b) 2x ( x - 3 ) = 5 - ( x² - 4 )
Hier haben wir nun eine "Besonderheit". Die zweite Klammer ist eine Minusklammer. Vor ihr steht ein Minus, und kein Mal. Bei einer Minusklammer werden die Vorzeichen in der Klammer alle einfach umgedreht - das wars.
2x*x - 2x*3 = 5 - x² + 4
Weiter auflösen kannst du selbst ;)
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
1. Deine Frage: 5x - 6x = -x, weil ja auch 5 - 6 = -1 ist
2. Bei der in a) angegebenen Funktionsgleichung -15x² - x + 2 kannst du noch nicht die pq-Formel anwenden, sondern musst erst dafür sorgen, dass x² "allein" steht, also nur den Faktor 1 hat. Um das zu erreichen, musst du die ganze Funktion durch (-15) teilen und erhältst:
x² + (1/15)x - 2/15 = 0
Hier ist also p=1/15 und q = -2/15, was dann in die pq-Formel einzusetzen ist.
Wenn ihr schon gelernt habt, dass ein Produkt immer dann zu Null wird, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist, dann kannst du x viel leichter bestimmen, wenn du jede der beiden Klammern gleich Null setzt:
1-3x = 0; ---> x = 1/3; 5x+2=0; ---> x = -2/5;
5x + 2 - 15x² - 6x = 0
-15x² - x + 2 = 0
Wie kommt man auf das x? Weil wenn man -5x rechnet, kommt doch -11x raus, da das 6x im - steht, oder?
Auch von mir nochmal. Die beiden haben aber eig. schon alles gesagt:
In dem Term 5x + 2 - 15x² - 6x lassen sich "5x" und "-6x" finden. Hier kannst du diese auch verrechnen, ohne, dass sie hintereinander stehen, weil wir hier Variablen haben.
5x - 6x = -1x = -x
a) (1-3x) ( 5x+2) = 0
5x + 2 -15x² -6x = 0
-x + 2 - 15x² = 0
-15x² -x + 2 = 0
b) 2x ( x - 3 ) = 5 - ( x² - 4 ) =
2x² - 6x = 5-x² + 4 | - 2x² | +6x
0 = 5-3x² + 4 + 6x
0 = 9 - 3x² + 6x
0 = -3x² + 6x + 9
Bitte auf Fehler schnell aufmerksam machen.
Diesen Lösungsweg für (a) finde ich eben irgendwie dumm ! Auch Lehrer sollten dies nicht unterstützen, da zuerst mal auszumultiplizieren, um dann eine Lösungsformel anzuwenden !
Diesen Lösungsweg für (a) finde ich eben irgendwie dumm ! Auch Lehrer sollten dies nicht unterstützen, da zuerst mal auszumultiplizieren, um dann eine Lösungsformel anzuwenden !
Das lernt man zu Beginn aber so. Die Mathematik dahinter versteht man erst mit der Zeit, wenn man das Thema auch besser behandelt hat. Ich hätte damals in der 9. Klasse auch nicht irgendwie direkt sagen können, dass man dort was anderes hätte tun können. Es gab ganz klar vorgegebene Lösungswege. Wenn Klammern da waren, musste man sie lösen. Das sollte man ja auch "nebenbei" lernen, Stichwort binomische Formeln.
Viele wissen wahrscheinlich nicht einmal, dass man z.B. versuchen kann die Klammer auf den Wert 0 zu bringen, um den Satz vom Nullprodukt anzuwenden. Wusste ich damals nicht, wissen meine Nachhilfeschüler die jetzt erst frisch in die 10. Klasse gekommen sind nicht, und weiß der Fragesteller vermutlich auch nicht.
Ich habe das in meiner Antwort auch nicht anders erklärt, weil ich hier keinen Lehrer nachmache und mal ganze Themen erklären.
Meinem Ansatz nach habe ich zuerst ausmultipliziert. Ich sehe nirgendswo eine Lösungsformel. Drücke dich bitte verständlicher aus.
Da die Gleichung nullgestellt (=0) ist, kann man davon ausgehen, dass der Schüler dann anschließend die Lösungsmenge berechnen soll. Dafür würde man dann die pq- oder abc-Formel nutzen.
Das geht auch anders. Dennoch habe ich es hier genau wie du gemacht, siehe meinen anderen Kommentar.
Jeder mit jedem, also bei Beispiel a) würdest du folgendes rechnen:
(1*5x)+(1*2)+(-3x*5x)+(-3x*2)
Bei Beispiel b) würdest du folgendes rechnen:
(2x*x)+(2x*(-3))=(5*x^2)+(5*(-4))
a) ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) = 0
1*5x + 1*2 -3x*5x - 3x * 2 = 0
5x + 2 - 15x² - 6x = 0
-15x² - x + 2 = 0
b)
Für die Auflösung der ersten Gleichung wäre es unsinnig, die Klammern auszumultiplizieren.
(b) 2x ( x - 3 ) = 5 - ( x² - 4 )
2 x^2 - 6x = 5 - x^2 + 4
3 x^2 - 6x - 9 = 0 | durch 3 dividieren !
x^2 - 2 x - 3 = 0
und jetzt wieder faktorisieren:
(x - 3) * (x + 1) = 0
x - 3 = 0 oder x + 1 = 0
und jetzt die Lösungen herauslesen.
5x + 2 - 15x² - 6x = 0
-15x² - x + 2 = 0
Wie kommt man auf das x? Weil wenn man -5x rechnet, kommt doch -11x raus, da das 6x im - steht, oder?