Kettenregel bei Ableitungen?
Hi, ich tue mich manchmal schwer die einzelnen verschachtelten Funktionen in einem Konstrukt für die Kettenregel zu erkennen. In der Schule haben wir Ableitungen noch nicht behandelt, deshalb kann ich andere Schüler leider nicht fragen.
Beispiel:
f(x)= ln(1/(sqrt(x^2+1)))
hier handelt es sich doch um
u(x)=ln(x)
v(x)=1/x (=x^(-1))
w(x)=sqrt(x)
q(x)=x^2+1
also vier Funktionen, oder?
Wieso ist aber zB bei
g(x)=2*(sqrt(x)-1)*e^(sqrt(x))
die 2 bzw u(x)=2x keine "Unterfunktion"? das verstehe ich nicht so ganz.
Wieso ist ^(-1) eine verschachtelte Funktion und *2 nicht? Bzw woran erkenne ich denn genau, dass es sich um "unterfunktionen" handelt und nicht eine Funktion der ein Parameter hinzugefügt wurde?
Danke und
Liebe Grüße
3 Antworten
Also zu deinem ersten Beispiel sehe ich nur zwei Funktionen. f(x) = ln(g(x)) und g(x) = 1/sqrt(x^2+1).
Edit: es gibt eine viel einfachere Lösung. Der wurzelterm sieht kompliziert aus, ist für den Logarithmus aber sehr elegant zu lösen. Der Term 1/sqrt(x^2+1) ist ja nichts anderes als (x^2+1)^(-1/2). Der Logarithmus hat die Eigenschaft, dass du den Exponenten nach vorne ziehen darfst, also konkret ln(x^a) = a*ln(x). Daher vereinfacht sich dein term zu (-1/2)*ln(x^2+1). Dann kannst du einfach mit der Kettenregel ableiten und erhälst -x/x^2+1
Dein zweites Beispiel verstehe ich nicht so ganz.
Ok, der Witz ist das es in jedem Schritt nur auf 2 Funktionen ankommt : das was aussen steht allso mein "u'" und der Rest, und ich nenn den ganzen Rest v . Und nach jedem Schritt wird mein neues v eine einfachere Funktion
wie leite ich f Ring g Ring h ab, das was aussen steht
1) Kettenregel anwenden auf f und (g Ring h )
2) Kettenregel anwenden auf g und h
Es ist immer der selbe Schritt
Eine Funktion ist im Prinzip erst einmal nur eine Abbildung aus Mathematischer Sicht gesprochen. Die 2 musst du nicht ableiten weil sie nicht direkt abhängig von x ist. Es handelt sich nur um einen Faktor, nichts weiter. Er streckt bzw. staucht die Funktion einfach nur. Begründung liegt in der linearität von Funktionen.
ist f eine beliebige lineare Funktion und differenzierbar (also „ableitbar“) so ist die Ableitung von c*f(x) => c*f´(x)
(Außerdem f(c*x)=c*f(x))
in deinem 2ten Beispiel ist c=2 also 2*f(x)
ist vielleicht etwas kompliziert nachzuvollziehen. Der wichtige Teil ist einfach nur die Abhängigkeit von x
2x ist strikt genommen eine Unter Funktion
Der Trick ist das man aber das ich merke das sich hier eine einfachere Regel für die Zukunft merke , das ein konster Faktor unverändert bleibt
Als Tipp: Wenn du in ein Thema einsteigst beginne mit einfachen Beispielen
Daa,heißt üblicherweise schaut man sich zuerst den Spezialfall " u=2x" an bevor man sich die allgemeine Kettenregel anschaut
Und man schaut sich mal 2 zusammengesetzte Funktionen. Wenn man das beherrscht dann kannst du dein erstes Beispiel angehen und bemerken das,es,nicht schwieriger sondern nur etwas unübersichtlicher wird
f(x)= ln(1/(sqrt(x^2+1)))
gut , ln ( soundso )
und in der Tat kann "soundso" wieder die Kettenregel ( sogar mehrfach ) erfordern.
Aus deinem Beispiel könnte man das machen
( ln(1/(sqrt(x^2+1)))³...........schon ist die Kette länger geworden
Man würde aber das ganze nicht so formal aufschreiben mit u v w usw (x) , sondern einfach ans Werk gehen
.
g(x)=2*(sqrt(x)-1)*e^(sqrt(x))
die 2 ist einfach nur ein Faktor . Den kann man "rausziehen" und er wirkt sich nirgends aus
Hier ist die Produktregel notwendig , und die Kettenregel nur bei hinteren Faktor
.
Woher du die 2x hast , ist mir ein Rätsel
Ich habe mich anscheinend ein bisschen umständlich ausgedrückt.
Man kann ja sagen, dass f(x) oben aus 4 Funktionen besteht (deshalb nochmal alle einzeln aufgeschrieben)
alle leitet man einzeln ab und bildet dann das Produkt.
Mir ist nur nicht so ganz klar, wie genau man den Unterschied zwischen Funktion und zB wie du sagtest einfach einen Faktor erkennt. Wieso ist die 2 nur ein Faktor und nicht die Funkion h(x)=2x in welcher sqrt(x)-1 (also x!) verschachtelt ist? Also was ist die Voraussetzung damit ich sagen kann es handelt sich um eine Funktion die ich einzeln ableiten muss?
Ja, das verstehe ich, man kann wurzel und 1/x einfach zusammenfassen. Es ging mir aber eher um das einzelne ableiten der ganzen inneren Funktionen.
Woher weiß ich, was Funktion ist und was nicht? Also wieso muss ich die „2“ bei der unteren Funktion nicht auch einzeln ableiten??