Wie leite ich die Kettenregel mit der Herleitung an einem Beispiel ab?
Ich habe die Funktion f(x) = (x + 2)^4 und versuche die Ableitung it der Herleitung der Kettenregel zu lösen. Die Lösung wäre ja f'(x) = 4 * (x + 2)^3 * 1, die 1 für die innere Ableitung.
Jetzt komme ich nun nicht mehr wirklich weiter. Ich glaube der hintere Teil:
wäre wenn man x -> x0 annährt 0/0 was 1 ergeben würde, jedoch komme ich nun nicht mehr weiter.
Ich hoffe ihr könnt mit helfen! :D
4 Antworten
Hallo,
einfacher ist es mit der h-Methode, indem Du den Limes von h gegen Null für den Diffenzenquotienten [(x+2+h)^n-(x+2)^n]/h bestimmst.
Lies (x+2+h)^n als [(x+2)+h]^n
Das wird nach dem Schema (a+b)^n aufgelöst nach der ersten binomischen Formel mit a=x+2 und b=h.
Dabei interessieren nur die beiden ersten Glieder, die nach dem Schema
a^n+a^(n-1)b entsprechend (x+2)^n+n*(x+2)^(n-1)*h ergeben würden.
Bei allen nachfolgenden Gliedern tritt h als Faktor mit einer Potenz von mindestens 2 auf.
Das erste Glied (x+2)^n verschwindet, weil ja im Differenzenquotienten (x+2)^n subtrahiert wird. Es bleibt n*(x+2)^(n-1)*h+h²*(a+hb+h²c+..h(n-1)*z.), wobei die Summe in der Klammer aus all den nachfolgenden Gliedern des Polynom (x+2)^n besteht, aus denen h² ausgeklammert wurde.
Kürzt Du nun das h im Nenner gegen ein h im Zähler, bleibt n*(x+2)^(n-1)*h*(...) übrig. Geht h gegen Null, verschwindet die Summe und es bleibt die Ableitung
n*(x+2)^(n-1) der Funktion f(x)=(x+2)^n übrig.
Herzliche Grüße,
Willy
wenn du das wirklich mit dem Diff-Quotienten machen willst, wirst du nicht umhin kommen, die Klammern zu lösen.
(x+2)^4 = (x²+4x+4)² = .......
und
(xo+2)^4 = ...........
Wie wäre es mit Termrechnen üben?
(x - 2) - (x_0 - 2) = x - 2 - x_0 + 2 = x - x_0.
Dein Bruch ist also für alle x <> x_0 = 1 und geht damit für x gegen x_0 gegen 1.
Die allgemeine Aussage 0/0 = 1 ist dagegen grob falsch.
Beim ersten Bruch hilft dir die verallgemeinerte dritte binomische Formel, mit der du ein (x - x_0) aus dem Zähler raus ziehen kannst.
mit der h-Methode
Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1)
f´(x)=[(f(x+h)-f(x)]/h mit h=x2-x1 → x2>x1
f(x)=(x+2)⁴
m=[((x+h)+2)⁴-(x+2)⁴]/h mit lim h → 0
nun binomischer Lehrsatz,siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst
(a+b)⁴=a⁴+4*a³*b+6*a²*b²+4*a*b³+b⁴
wegen a⁴=(x+h)⁴ 2 mal anwenden
is viel Rechnerei.
Den Rest schaffst du selber.