Kann mir wer dieses Beispiel Schritt für Schritt erklären?

Hallo!

Mein Mathe ist offensichtlich nach einem Jahr schon ziemlich eingerostet, aber ich möchte wieder hineinkommen. Könnte mir bitte wer dieses Beispiel erklären?

Danke!

Answer 1

[evtldocha]

Aufgabe a) Stichwort: Quadratische Ergänzung

$-2\cdot\left(x^2-10x\right)-48\ =-2\cdot\left(x^2-2\cdot5\cdot x+5^2-5^2\right)-48\ =$ $-2\cdot\left(\left(x-5\right)^2-25\right)-48\ =-2\cdot\left(x-5\right)^2+50\ -48\ =$ $-2\cdot\left(x-5\right)^2+2$

Also

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x+b\right)^2+c=-2\cdot\left(x-5\right)^2+2$

Aufgabe b) Für die linearisierte Form benötigt man die Nullstellen

$f\left(x\right)=0\ \ \Leftrightarrow x_1=4\ \vee\ x_2=6$

Damit

$f\left(x\right)=-2\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x-6\right)$

Aufgabe c) Den Scheitpunkt kann man aus der Lösung zu a) direkt ablesen (Stichwort: Scheitelpunktform).

$x_s=5;\ y_s=2$

Skizze:

Zur Ergänzung der Frage:

Stichwort "Kettenregel" zur Bildung der Ableitung:

$f'\left(x\right)=-5\cdot\sin\left(x\right)\cdot e^{\cos\left(x\right)}$

Tangentengleichung: Die allgemeine Form wäre:

$t_{x_0}\left(x\right)=f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

Da sin(2π) = 0, ist die Steigung von t(x) (m = f'(2π)) im Punkt x₀ = 2π gleich 0 (waagerechte Tangente = Extremwert) und es gilt:

$t_{2\pi}\left(x\right)=f\left(2\pi\right)=5\cdot e^{\cos\left(2\pi\right)}=5\cdot e^1=5\cdot e$

Skizze:

Comments

[Coffeelover615]

Danke!
Könntest du mir bitte auch erklären, wie ich bei diesem Beispiel auf die Lösungen komme? (Dass es cos ist hatte ich irgendwie im Gefühl, weiß aber nicht wieso) Dass d 4 ist, konnte ich mir durch den f(0) = 4 ja einfach ausrechnen. Wie aber komme ich auf a=b=3?

Edit: Ich kann kein Bild einfügen, also ist das Bild in der Nachfrage

[Willy1729]

f'(x)=5*sin(x)*e^(cos(x)), denn die Ableitung von cos (x) ist -sin(x) und dieses Minus hebt das Minus vor der 5 in der Ableitung auf.

[evtldocha]

@Willy1729

Sorry, den Kommentar verstehe ich nicht. Welches Minus soll aufgehoben werden? In der Funktion selbst steht kein Minuszeichen vor der 5 also bleibt es bei dem einen Minus aus der Ableitung des cos(x) (und GeoGebra rechnet das auch so)

[Willy1729]

@evtldocha

Äußere Ableitung mal innere Ableitung. Äußere Ableitung ist gleich Funktion, also -5e^(cos(x)). Innere Ableitung ist -sin (x).

-5e^(cos(x))*(-sin(x))=5e^(cos (x)*sin(x).

Ich sehe gerade, daß ich mich verlesen habe. Vor der 5 steht überhaupt kein Minuszeichen; nehme alles zurück.

[evtldocha]

@Willy1729

Was rechnest Du da? f(x) = 5e^(cos(x))

[Willy1729]

@Willy1729

Kommentar vergessen. Ich habe -5 statt 5 gelesen.

[Willy1729]

@evtldocha

Ich hatte -5e^(cos(x)) gelesen. Meine Augen sind nicht mehr die besten.