Kann mir jmd bei dieser Aufgaben hier helfen?
Heyy, ich bin gerade mal wieder absolut am verzweifeln. Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich versteh absolut nicht, warum der Graph von f‘‘ gegeben ist und ich Sachen zu f herausfinden soll?
danke :)
4 Antworten
Mit der zweiten Ableitung kann man die Krümmung eines Graphen bestimmen. Und zwar ist der Graph von f linksgekrümmt, wenn f''>0 und rechtsgekrümmt, wenn f''<0 gilt. Das kannst Du Dir schnell an der Normalparabel klar machen, wenn Du beim Bestimmen der Krümmung unsicher bist. Die zweite Ableitung von f(x)=x² ist f''(x)=2, also >0, und die Normalparabel ist ja bekanntermaßen linksgekrümmt...
a) auf diesen Graphen angewendet: dort wo der abgebildete Graph über der x-Achse liegt (f''>0) ist der Graph von f linksgekrümmt. Bei x=-0,3 ist f''<0, also rechtsgekrümmt, d. h. diese Aussage ist falsch
b) Wendestellen sind dort wo gilt: f''(x)=0 (=notwendige Bedingung) und f'''(x)≠0 (=hinreichende Bedingung). Beide Bedingungen sind erfüllt: f''(2)=0 und f'''(2)≠0 (die 3. Ableitung gibt die Steigung der zweiten Ableitung an, und die ist offen sichtlich nicht 0 - f'' fällt an der Stelle x=2), also: Aussage wahr
c) von der Stelle x=0 kann man nur sicher sagen, dass dort eine Wendestelle ist, weil f''(0)=0 und f'''(0)≠0 gilt. Aber ob an dieser Stelle auch f'(0)=0 gilt, kann man anhand dieses Graphen nicht klären.
d) ein Graph ändert seine Krümmung an den Wendestellen, also wenn f''=0 gilt (mit f'''≠0) das ist bei x=0,8 nicht der Fall
Die Idee dahinter ist, dass ihr verstehen sollt, dass f'' Aussagen über f enthält. Gehen wir das mal durch: f ist unsere Ausgangsfunktion, f' ist die Steigung von f und f'' ist wiederum die Steigung von f'. Was sagt nun f'' über f aus? Angenommen wir haben eine positive Steigung (f'(x) > 0), dann sehen wir, dass der Funktionsgraph nach "oben geht". Wenn jetzt die Steigung der Steigung ebenfalls positiv ist (f''(x) > 0), dann wird der Graph immer steiler.
Ist die Steigung negativ (f'(x) < 0) geht der Funktionsgraph "nach unten". Ist hier aber die Steigung der Steigung weiterhin positiv (f''(x) > 0), flacht die (negative) Steigung ab. Sehr gut zu sehen an der Normalparabel f(x) = x^2. Hier ist f'(x) = 2x und f''(x) = 2. Die Steigung ist positiv für x > 0 und negativ für x < 0, während die Steigung der Steigung immer positiv (nämlich 2) ist. Daher nimmt unsere Steigung immer weiter zu, je weiter wir nach rechts auf der x-Achse gehen.
Das Ganze nennt sich dann Krümmungsverhalten. Nimmt die Steigung zu, sehen im Funktionsgraphen eine Linkskrümmung, nimmt sie ab, sehen wir eine Rechtskrümmung.
Wenn das ein wenig unverständlich klingt, schau dir ein paar Graphen an und versuche das nachzuvollziehen (es gibt sehr wahrscheinlich auch sehr gute Videos auf Youtube, die das ein wenig besser veranschaulichen als so ein Text).
Versuchen wir das trotzdem mal auf a) anzuwenden. Der Graph f ist nach rechts gekrümmt: Was uns auffällt ist, dass der Graph den wir sehen (als f''(x)) nach rechts gekrümmt ist. Das heißt aber noch nicht, dass auch für f(x) gelten muss. Damit der Graph nach rechts gekrümmt ist, muss die Steigung der Steigung abnehmen, also muss f''(x) hier negativ sein. Das ist aber nicht der Fall. a) ist somit falsch. Für b) können wir uns überlegen, dass eine Wendestelle eine Extremstelle der Ableitung ist. Wie haben wir die nochmal ausgerechnet...? War da nicht irgendwas mit 2. Ableitung nullsetzen...
Versuch dich da mal längs zu hangeln und versuch dir klar zu machen, was Ableitungen bedeuten. Also Motivation hilft dir vielleicht: Das ist hier definitiv eine Verständnis Aufgabe: Wenn du die verstanden hast, hast du sehr wahrscheinlich auch das Konzept der Ableitung gut verstanden.
Viel Erfolg :)
Mit Hilfe der zweiten Ableitung wird bei Standardaufgaben auf Eigenschaften der Ausgangsfunktion geschlossen. Hier sollst du Begründungen dafür erkennen, damit du später nicht einfach nur auswendig gelernte "Kochrezepte" anwendest.
Du sollst Dur Gedanken darüber machen, was die zweite Ableitung über die Stammfunktion aussagt. Für die erste Ableitung weißt Du sicher, dass sie die Steigung der Stammfunktion beschreibt. Du bekommt die Extrema (also die Stellen, an denen die Steigung = 0 ist) heraus, indem Du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest. Du kannst Aussagen darüber treffen, ob die Stammfunktion in einem Punkt steigt oder fällt.
Nun finde heraus, welche Aussagen über die Stammfunktion mit der zweiten Ableitung getroffen werden können. Mit diesem Wissen kannst Du dann entscheiden, welche Aussagen wahr sind.