Kann mir jemand bei dieser Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen helfen?
Es geht um Nr. 2a) und Nr.3
3 Antworten
Zu 2a) hast Du ja schon den Rechenweg. Allgemein gilt: zuerst die Schnittpunkte beider Funktionen berechnen (falls man die Graphen nicht wie hier vorliegen hat bzw. die Schnittstellen nicht eindeutig ablesen kann) und dann von Schnittstelle zu Schnittstelle die "Differenzfunktion" integrieren, d. h. Int(f-g) oder Int(g-f) ausrechnen. Siehst Du die Graphen, rechnest Du sinnvollerweise obere Funktion minus untere; machst Du es umgekehrt ist das auch kein Drama. Letztendlich kommt es auf den Betrag des Ergebnisses an (es geht ja um Flächen), d. h. kommt was negatives raus (das ist der Fall, wenn Du die obere von der unteren Funktion abziehst), dann läst Du einfach das Minuszeichen weg. Die einzeln berechneten Flächen werden dann natürlich noch addiert.
Zu 3) machst Du evtl. besser eine kleine Skizze. Als Schnittstellen der beiden Funktionen wirst Du x=0 und x=2 erhalten. In diesen Grenzen integrierst Du f-g bzw. g-f [die Gerade liegt in diesem Fall höher als die Parabel].
Dann ist ja noch nach der Fläche im IV.Quadranten gefragt (unten rechts im Koordinatensystem). Die Parabel hat die Nullstellen 0 und 1. Machst Du eine Skizze, siehst Du, dass die Parabel in diesem Bereich unter der x-Achse in diesem Quadranten liegt. D. h. Du integrierst nur die Parabel von 0 bis 1 und rechnest aus, wieviel Prozent das von der gesamten Fläche zwischen den Graphen ausmacht.
Bei Aufgabe 2a) integrierst du von:
- -2 bis -1 der Funktion 3. Grades
- -2 bis -1 der Geraden
- -1 bis 0 der Funktion 3. Grades
- -1 bis 0 der Geraden
Dann mach dir klar, welche Flächen du konkret bestimmt hast und anschließend kannst du die grau markierten Flächen ermitteln.
Aufgabe 3)
Die Regel zur Berechnung ist "Obere minus untere Funktion", heißt für die beiden Funktionen ist das Integral wie du sicher weißt:
Die Grenzen bilden hierbei die Schnittpunkte der Funktionen, die du zuerst berechnen musst. Beachte, dass einmal die eine Funktion oben ist, danach aber wieder die andere.
Die Schnittpunkte kann ich dir als Vergleich angeben, wobei sie tatsächlich auch in der Skizze abgelesen werden könnten: x1=-2; x2=-1;x3=0. Diese bilden die Grenzen der beiden Flächenintegrale.