Wie kann A0(x) so nur ein Strich sein in der Flächeninhaltsfunktion und wie kann es auf dem f Funktionsgraphen eine Fläche sein?

Ein bisschen abstrakt ist das zunächst mal - aber so schlimm eben doch nicht.

f ist im dargestellten Beispiel eine einfache lineare Funktion mit  f(x)=m*x

Der Graph von f ist eine Gerade durch den Koordinatennullpunkt mit einer gewissen Steigung m.

Nun betrachtet man das Flächenstück (hier ein Dreieck), das zwischen der x-Achse und der Geraden (Funktionsgraph) zwischen den Koordinaten 0 und x  eingeschlossen wird. Man kann sich leicht klar machen, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks gleich 

      Grundlinie * Höhe / 2 = x * mx /2 = (m/2) * x^2 

ist. Dieser Flächeninhalt, der mit  Ao(x) bezeichnet wird, ist natürlich vom gewählten Wert der Grundlinie x  abhängig.  Damit wird  Ao(x)  zu einer gewissen (neuen) Funktion der Variablen x , für die man ebenfalls einen Graph (also eine Funktionskurve) zeichnen kann.  Zu diesem Zweck braucht man nun ein Koordinatensystem, dessen waagrechte (x-) Achse eigentlich mit der ursprünglichen x-Achse für die Funktion f identisch ist.  Auf der zur x-Achse senkrecht nach oben zeigenden Achse werden nun aber Flächeninhalte abgetragen  (also eigentlich Quadratmeter, nicht Meter wie auf der alten y-Achse).  Die Funktionsgleichung   y = Ao(x) = (m/2)*x^2  ergibt nun nicht mehr eine gerade Linie (wie der Graph von f), sondern in diesem Fall eine Parabel, weil Ao(x)  quadratisch von x abhängig ist. 

An jeder Stelle auf der x-Achse ist nun die Länge der y-Koordinate für den entsprechenden Parabelpunkt proportional zum Flächeninhalt, den man beim Graph der ursprüngliche Funktion f als einen Flächeninhalt darstellen kann.

Nun ist meine Beschreibung zwar länger als geplant geworden - trotzdem hoffe ich, dass sie zum Verständnis beitragen wird.

Guten Abend noch !

rumar

• A0(x) ist definiert als der Flächeninhalt unter Funktion f (oberes Bild)
• A0(x) ist jedoch natürlich auch selbst eine Funktion, die einen gewissen Funktionswert an einer gewissen Stelle hat (unteres Bild). Das ist dein "Strich".

Im Wesentlichen ist es sehr viel einfacher als du denkst. Gegeben ist die lineare Funktion f (blau). Der Wert A₀(x) gibt dabei den Flächeninhalt unter der Funktion (das bestimmte Integral) im Intervall [0;x] an. Soweit hast du es, denke ich, nachvollziehen können.

In der zweiten Abbildung ist die Flächeninhaltsfunktion A₀ der Funktion f dargestellt. Diese Funktion ordnet jedem Wert x den Flächeninhalt unter der Funktion x im Intervall [0;x] zu. Der Flächeninhalt des roten Dreieckes unter der Funktion f im Intervall [0;x] entspricht dem Funktionswert der Flächeninhaltsfunktion A₀ an der Stelle x. A₀(x) ist kein Stich, sondern bezeichnet den Wert der Flächeninhaltsfunktion A₀ an der Stelle x.

Das Integralzeichen "S" (verzerrtes S) ist der mathematische befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner teilflächen "dA" zu einer Gesamtfläche "A"

Bei dir sieht man eine Gerade der Form f(x)=m* x

eine unendlich kleine Teilfläche ist dA=y*dx=f(x)*dx integriert ergibt

Integral (dA)=Integral(f(x)*dx ergibt A=Integral(f(x)*dx mit f(x)=m*x ergibt

A=Integral(m*x *dx)=m*Int.(x*dx)= m*1/2*x² +C

also Ao(x)=1/2*m*x²+C

Probe: Abgeleitet A´o(x)=m*x +C*0*x¹=m*x stimmt also.

Die Integrationskonstante muss immer angehängt werden,weil ja bei der Differentation die Konstante wegfällt.

Die Konstante C muss dann über die Rahmenbedingungen ermittelt werden.

A0=obere Grenze - untere Grenze mit xu=0 und xo=3 ergibt

Ao=(1/2*m*3²)-(1/2*m* 0²) die Konstante C hebt sich bei dieser Rechnung auf

Für eine Proberechnung mit y=f(x)=2 * x durch und notiere das Ergebnis.

f(x)=2*x ergibt ein "rechtwinkliges Dreieck" ,was man auch ohne Integralrechnung berechnen kann.