Kann man komplexe Nullstellen skizzieren?
Hallo,
beispielsweise die Funktion f(x) = x² + 1 hat keine rellen Nullstellen, aber die komplexen Nullstellen i und - i.
Ich kann mir gerade bildlich nicht vorstellen wie diese Nullstellen abzulesen wären. Ist es überhaupt möglich die Funktion in einem Koordinatensystem so zu skizzieren, dass man auf anhieb die Nullstellen erkennen kann, oder tauchen diese Nullstellen nur in der Berechnung auf?
Viele Grüße
6 Antworten
In der komplexen Zahlenebene sind auf der Ordinate (Hochachse) die imaginären Zahlen i, 2i, 3i ... und nach unten - i, - 2i, - 3i usw.
Auf der Abszisse (Rechtsachse) 0, 1, 2... und nach links - 1, - 2, ...
Um sich ein Bild von der komplexen Funktion f(z) = z² + 1 zu machen, könnte man den Betrag |f(z)| auf einer Achse senkrecht zur komplexen Ebene E auftragen. Dann erhält man eine Fläche über E, die E an den beiden Stellen i und - i berührt.
Imaginäre Zahlen heißen ja deshalb imaginär, weil man sie sich nicht mehr so recht vorzustellen vermag.
Um der Vorstellung ein wenig nachzuhelfen, reichen allerdings kartesische Koordinaten x,y aus. Denn die reellen Zahlen finden alle auf der x-Achse Platz, die imaginären auf der y-Achse. Zusammensetzungen davon sind in den Quadranten, denn eine komplexe Zahl ist ja darstellbar als x + yi.
Natürlich kann man sich auch kompliziertere Vorstellungen konstruieren. Aber für den Anfang reicht's.
Zum Spielen:
Eingabe bei Wolfram x^2+25, where x=i,5i
oder x^2+25, where x=i,-i
Der Funktionsgraph ist ja auch 4-Dimensional, von daher wird das mit dem bildlich vorstellen schwer.
in 3d in dem sinne wie du auch sachen im R^3 in ein kordinatensystem zeichnen kannst, schon.
wenn z eine komplexe zahl ist, dann kannst du durchaus in einem 3-achsigen Koordinaensystem den punkt (Re(z),Im(z),f(z)) einzeichnen.
Ein problem kriegst du nur wenn als ergebnis eine rimaginäre zahl rauskommt.
da bräuchtest du ein 4-achsiges aka 4d koordinatensystem (2 achse für re und im von der eingangszahl, 2 achsen für re und im vom ergebnis)
nur so meine gedankenspiele, aber eigentlich könntest du so eine Funktion f von C nach C auch als eine Art Verschiebungsfunktion ansehen.
wenn bspw.
f(1+2i)=4+5i wäre, dann könnte man das so interpretieren als eine Verschiebung
vom punkt (1,2) zum punkt (4,5) auffassen und damit einen vektor vom start zum endpunkt zeichnen in der üblichen komplexen zahlenebene.
dadurch dass du da nicht nur punkte zeichnest, kannst du natürlich nciht für jeden punkt so den dazu gehörigen funktionswert zeichnen (aus platzgründen und fehlender übersichtlichkeit)
kannst nur beispielhaft den vershciebeungsvektor für vereinzelte vektoren schreiben.
nur am rande bemerkt:
gleichermassen könnte man im üblichen R^2 einen normalen Vektoren auch interpretieren als Verschiebungsfunktion, also bspw. den Vektor (3,5) als die Funtkion
f:R^2->R^2 mit
f((x,y))=(x+3,y+5)
was dir sowas bringt?
Keine Ahnung!
Aber die entstehenden Bilder mit den von punkt zu punkt untershciedlichen vershciebungsvektoren wären sicher sehr cool! :-)
Zeichne die komplexe Ebene und markiere die Nullstellen und Polen, usw. Mann kann auch Re(f) gegen x+iy in 3d skizzieren sowie Im(f), |f|, usw.