Ist jede globale Extremstelle auch eine lokale Extremstelle (Polynomfunktionen)?
Da bin ich mir unsicher.
2 Antworten
Nein. Eine globale Extremstelle ist der höchste/niedrigste Punkt. Bei einer lokalen Extremstelle muss die Steigung 0 sein. Wenn ein Graph für x -> oo gegen oo läuft ist dort nicht die Steigung 0, dort ist also keine lokale Extremstelle, aber eine Globale (wenn der Graph für x -> -oo nicht auch gegen oo läuft. Dann gäbe es kein globales Maximum.)
Okay, das Beispiel mit der Betragsfunktion kann gestrichen werden da es kein Polynom ist. Trotzdem muss die Ableitung nicht 0 sein, wenn die Funktion zum Beispiel nur auf einem Geschlossenen Intervall definiert ist.
Polynomfunktionen laufen für x -> oo und x--> oo gegen +- Unendlich.
Sie haben nur ein globales Maximum/Minimum, wenn sie gerader Ordnung sind,
und das ist immer ein lokales mit waagrechter Tangente.
Ja eine Funktion die global Extrem ist, ist auch lokal extrem.
(Globales Maximum bedeutet, dass die Funktion nigends einen höheren funktionswert hat, Lokales Maximum bedeutet, dass die Funktion auf einer Lokalen Umgebung kein höheren Funktionswert hat. Lokale Umgebung: Schnitt des Definitionsbereichs mit einer offenen Menge, die die zu betrechtenden Stelle enthält)
Eine unbeschränkte Funktion hat kein Globales Maximum.
Außerdem muss eine lokale Extremstellen nicht die Steigung 0 haben, das muss nur gelten, wenn die Stelle im Inneren des Definitionsbereichs ist und an der Stelle differenzierbar ist.
f(x)=|x| hat zum Beispiel an x=0 ein lokales (und Globales) Minimum
Außerdem können globale Minima/Maxima mehrfach vorkommen (es sind keine strikte Maxima/Minima)