globale/lokale Extremstellen?
Wie kann man globale und lokale extremstellen definieren und wo liegt der Unterschied. Egal was ich google ich verstehe es trotzdem nicht. Könnt ihr mir bitte helfen?
Danke im vorraus
3 Antworten
Diese Funktion hat mehrere Extremstellen, Hoch- und Tiefpunkte (bzw. Maxima und Minima). In dem gesamten Intervall in dem sie gezeichnet ist gibt es mehrere lokale Hoch- und Tiefpunkte, an denen sie kurzzeitig der höchste bzw. tiefste Punkt in der Nähe sind.
Das absolute (globale) Minimum ist aber der allerkleinste Wert der gesamten Funktion überhaupt, während das globale Maximum der allergrößte Wert der gesamten Funktion im Intervall ist. Von den globalen gibt es also jeweils immer nur einen. Einen höchsten und einen tiefsten Wert. Es kann aber mehrere lokale geben.
Bei der Funktion x^2 z.B. kann es aber auch sein, dass es nur ein globales Minimum gibt, aber kein globales Maximum, da die Werte nach oben hin ja unendlich größer werden gibt es da kein festes Maximum.
Asooo das macht Sinn. Echt eine große Hilfe danke.
Sei D die Definitionsmenge, f die Funktion.
Dann hat f an der Stelle x0 ein globales Maximum, wenn f(x0)>=f(x) für alle x in D gilt (x0 liegt natürlich auch in D).
f hat an x0 ein lokales Maximum, wenn es eine offene Umgebung um x0 gibt, sodass f(x0)>=f(x) für alle x in D geschnitten U gilt.
Eine Offene Umgebung ist ein offenes Intervall der Form (x0-a;x0+a) wobei a eine beliebige positive reelle Zahl ist (a darf auch nicht 0 sein)
Für Minima einfach >= mit <= auswechseln.
Beispiel:
1. D=R
f(x)=x^2
Dann hat f an 0 ein globales (und somit auch lokales) Minimum, da f(0)=0 und f(x)>= 0 für alle Reelle Zahlen.
2. D=(0,1]
f(x)=x
Die Funktion besitzt ein globales (und lokales) Maximum an x=1, weil alle funktionswerte von f auf (0,1] liegen. Die offene Umgebung die du hier wählen kannst ist (0;2) (also a=1) da dann U geschnitten D gleich D ist.
Die Funktion hat kein lokales/globales. Minimum da x0>0 gelten muss. Angenommen es gibt eine Offene Umgebung U um x0 wo x0 minimal ist, dann ist jedoch U geschnitten (0;x0) nicht leer, für jedes x aus der Menge nimmt f aber kleinere werte als an x0 an, somit ist es kein lokales Minimum, also auch kein globales
Allgemein gilt:
globale Extremwerte sind auch lokale Extremwerte.
Aber nicht alle Lokalen Extremwerte sind Globale Extremwerte
Extremstellen sind ja Hoch- und Tiefpunkte.
Eine Funktion kann mehrere lokale davon haben (wenn sie so mehrere Hügel hat z.B.) aber nur eine globale Extremstelle jeweils. Das ist dann entweder der tiefste oder der höchste Punkt der gesamten Funktion.
Hmm naja ne, also Wendestellen sind nicht global oder lokal. Nur Hoch- und Tiefpunkte sind Extremstellen. Warte, ich mach nochmal eine zweite Antwort mit Bild
Heist das also das der Tiefpunkt und hochpunkt eine globale extremstelle und z.b eine wendestelle eine lokale extremstelle ist?