Invertierte Wurzelschnecke - möglich - ohne Abmessung?
Hallo,
es gibt ja die Wurzelschnecke, wo man beginnend mit Katheten der Länge 1 im rechtwinkligen Dreieck durch immer anfügen eine Kathete der Länge 1 in 90° an die neue Hypothenuse, alle Hypothenusen zu Wurzeln der Natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5... kreieren kann:
Nun wollte ich fragen, gibt es auch eine Möglichkeit die invertierenden Wurzeln der Natürlichen Zahlen zu kreieren, also :
Aber ohne dass man die Länge der neuen Kathete immer (mit Taschenrechner) ausrechnen muss, also so wie Euklid, nur mit Zirkel und Lineal, arbeitet.
Viele Grüße
2 Antworten
Mit katheten die man im 90° Winkel an die vorherige hypothenuse anlegt kann das nicht funktionieren. Die neue hypothenuse wird immer mindestens so groß wie die vorherige (gleich groß wenn die neue kathete die lange 0 hat) Da aber gilt
1 > 1/wurzel2 > 1/wurzel3 > etc. ,
kann man die von dir gewünschte zahlenreihe so nicht konstruieren.
Edit: Skizze zur neuen Überlegung :
n ist hier immer die Zahl in der wurzel der neuen hypothenuse. Die Länge der angelegten kathete ist 1/wurzel(n(n+1) und der Winkel ist arcsin(wurzel(n) / wurzel(n+1))
Somit entsteht eine kathete mit Länge 1/wurzel(n+1) welche für die nächste konstruktion dann zur hypothenuse wird.
Hey also zu dem mit dem Zirkel. Du weißt ja immer wie lang die beiden neuen katheten sein müssen. Also setzt du deinen Zirkel mit der Länge 1/wurzel6 an dem oberen Ende der hypothenuse an Un zeichnest den Kreis. Dann setzt du den Zirkel mit Länge 1/wurzel3 am unteren Ende an und zeichnest den Kreis. Da wo die Kreise zmsich schneiden ist der eckpunkt des neuen Dreiecks. Den verbindest du mit den Endpunkt en der hypothenuse. Die genaue Länge kannst du ja immer mit 1/wurzel(n(n+1)) berechnen. Das mit dem Zirkel zu zeichnen wird halt zunehmend ungenaue, da die Länge ja immer kleiner wird. Da kannst du aber nichts machen.
Ja die Herleitung ist einfach der umgestellte Satz des Pythagoras a^2+b^2=c^2 dabei ist c die hypothenuse, die schon da ist also mit Länge 1/wurzel(n), und a die Länge der kathete mit Länge 1/wurzel(n+1). Das sind ja die Werte der wurzel Schnecke im kehrwert. Dann halt nach b umstellen und raus kommt b=1/wurzel(n(n+1))
Du meinst kovergieren oder? Das konvergiert dann gegen den Ursprung. Die jeweils neue hypothenuse wird ja immer mit dem Ursprung verbunden sein und die Länge der hypothenuse konvergiert gegen 0.
Aber kann man das auch Zeichnen ohne die Länge mit dem Lineal abzumessen?
Ich meine, die erste Länge also 1/root2 kann man theoretisch ohne abmessen konstruieren, da beide Seiten gleich lang sind und wir 90°
Wir könnten ja also 1/root2 so kreieren, dass wir 2 gleichgroße Seiten im Winkel von 90° Zeichnen und die Hyptenuse bennen wir als "1" natürlich ist die Hypotenuse dann nicht 1cm oder so sondern eine Einheit "1" lang.
Wir sagen einfach dass diese Hypotense unsere Einheitsgröße ist unseres Maßes.
Was auch immer dieses Maß ist unsere ersten Katheten wären dann 1/root2 von von diesem Maß
So könnten wir exakt diese Größe kreieren ohne auf dem Lineal zu schauen wo ca. 1/root2 ist und dann die Länge ziehen.
Verstehst du das soweit?
Und so frage ich mich, ob wir nun die anderen Dreiecke bzw. restlichen invertierenden Teile des Wurzelschnecke exakt geometrisch kreieren können.
So wie etwa Euklid und die alten Pythagorär alles mit Zirkel und Lineal kreiert haben bzw. exakt gezeichnet haben.
Ja ich meinte konvergieren.
Aber bist du dir sich, dass das in den Ursprung konvergiert?
Man müsste ja auch sagen, welchen Bereich man meint und eigentlich bin ich mir da noch nicht sicher.
Sozusagen haben wir ja 3 Eckpunkte zur Auswahl.
Der eine Eckpunkt bleibt ja immer gleich der alle 1/rootn Hypothenusen verbindet.
Ich denke mal dann wäres es der Eckpunkt bei dem immer der 90° Winkel ist.
Konvergiert dieser Eckpunkt bzw. wohin kovergiert dieser Eckpunkt?
Verstehst du was ich hier meine?
Würde es denn in irgendeinem sonstigen Dreieck funktionieren?
Man könnte ein rechtwinkliges Dreieck nehmen, und katheten konstruieren. Wenn man anfängt mit der hypothenuse mit Länge 1, und dann daran eine kathete legt mit Länge 1/wurzel(2) (Allgemeine Formel für die lange der angelegten kathete: 1/wurzel(n*(n+1)) so dass der rechte winkel am Endpunkt dieser kathete entsteht, wenn man den Endpunkt wieder mit der ursprünglichen hypothenuse verbindet, dann hat diese neue konstruierte kathete immer die lange 1/wurzel(n+1). Allerdings werden die Winkel der angelegten kathete immer kleiner
Schwer das hier zu erklären.
Größer. Die Winkel der angelegten katheten werden immer größer
Meinst du hier mit ursprünglichen Hypothenuse immer die Anfangs Hypotenuse mit Länge 1?
Oder in diesem Falle dann die neue Sprich 1/(root2) , dann 1/root3.
Ansonsten wie kriege ich die Länge dieser Katheten dann raus, bzw, dieser einer Kathte an der ich einfach per 90° mit der vorherigen "Hypotenuse" (die nun ja Hypotenuse ist aber vorher Kathete war) verbinde?
Ich meine immer die neue hypothenuse, die zuvor dann die kathete war. Die Länge ist immer 1/wurzel(n*(n+1)) der Winkel, an dem du die neue kathete anlegt ist nicht 90° sondern arcsin(wurzel(n) / wurzel(n+1)).
Ich versuche gerade aus Neugier ein Dreieck zu finden bei dem wenigstens der Winkel der neu angelegten kathete immer gleich bleibt aber das gestaltet sich schwieriger als geahnt. Die Länge muss allerdings variieren, da es immer kleiner wird.
Habe eine Skizze angefügt. Hoffe du wirst aus meiner kritzelei schlau.
Interessant - danke, das ich schon mal gut zu wissen.
Aber gibt es hier auch auch eine Möglichkeit diese Länge 1/wurzel(n*(n+1)) exakt zu kreieren - so wie ich die erste Kathete 1/wurzel2 einfach durch zwei gleich große Katheten in 90° kreiere und die Hypothenuse mit Länge "1" benenne?
Die Länge ist doch exakt definiert durch den term. Die Länge kann auf jeden Fall nicht konstant bleiben. Du kannst auch die Dreiecke so konstruieren, dass beide neue katheten jeweils die Länge 1/wurzel(n+1) haben, dann ist es aber kein rechtwinkliges Dreieck mehr, dafür ein gleichseitiges.
Ja das ist schonmal sehr gut aber geometrisch würde das gehen, das irgendwie exakt abzubilden?
Mit Zirkel und Lineal etc.
Und die neue Kathete ist ja 1/wurzel(n*(n+1) aber würde dann nicht nach 1/root6
1/root 24 kommen also 2*3*4 oder meinst du mit n immer mal 2?
also ich sehe das es erst +4,+6,+8 also immer +2 jede reihe oder?
Nene immer nur 2 mal. Also 1/wurzel(2*3) danach 1/wurzel(3*4) usw. Naja man kann das durchaus mit dem Zirkel konstruieren (theoretisch) wenn du die jeweiligen katheten längen als radius am jeweiligen Endpunkt nimmst und dann den Kreis einzeichnest und dann die Ecke am Schnittpunkt einzeichnest. Ob jetzt im rechtwinkligen Dreieck oder im oben beschriebenen gleichseitiges Dreieck ist dabei egal.
Kannst du mir das mit dem Zeichnen nochmal genau erklären?
Also sagen wir ich habe jetzt das Anfangsdreieck und nun meine neue Hypothenuse 1/root2
Wie zeichne ich nun 1/root6 mit Zirkel und Lineal exakt?
Und hast du für die Herrleitung, also dass die Kathete immer 1/wurzel(n*(n+1)) ist einfach den Satz des Pythagoras umgestellt?
Tipp:
1/Wurzel(n) = Wurzel(n)/n
Was mir gerade auch auffällt da 1/Wurzel(n) immer kleiner ist als eine der Katheten ist es doch unmöglich, dass man so eine Hypothenuse kreieren kann oder?
bzw. müsste dann die Startkatheh kleiner 1 sein bzw kleiner 1/root(2), aber so wäre unser startkathete die eigentlich die erste Hypothenuse 1/root(1) nicht vorhanden.
Also geht das überhaupt?
Denk nicht so kompliziert!
- Du kannst doch schon die Strecken für √n konstruieren.
- Du kannst eine Strecke mit Zirkel und Lineal in n gleiche Teile zerlegen.
Und jetzt mache mal beides ;-)
Aber sagen wir ich fange mit der Hypothenuse (1) an wie bei der normalen Wurzelschnecke.
Nun möchte ich 1/root(2) kreieren als nächste Hypothenuse.
Wie gehe ich vor um die Länge der nächsten Kathete im Winkel von 90° so anzulegen, dass dort 1/root(2) als Hypothenuse rauskommt?
Das einzige was ich bisher gefunden hab ist, dass man mit dem Tales Halbkreis eine Zahl invertieren könnte.
Sollte man das hier irgendwie anwenden?
- Da du mir einen Tipp gegeben hast, kann ich davon ausgehen, dass es zu 100% geht?
Also ohne einfach mit dem Satz des Pythagoras+Taschenrechner und Lineal dann einfach abzumessen
Also nicht im Sinne 1^2 - (1/root(2))^2 = Neue Kathete^2
Hey, vielleicht könntest du mir die letzten beiden kommentare nochmal beantworten, falls du die Antwort kennst?
Und, wenn wir, sagem wir, das in ein Koordinatensystem legen und dann die Länge 1 auf die X-Achse und dann links rum wie in der Zeichnung die Dreiecke einzeichnen, dann könnte man doch sagen, dass diese auf eine Stelle konjugieren oder?
Wie wäre der Ansatz? - irgendwie die Summe aller Acrsin(rootn/root(n+1) Winkel kombiniert mit den 1/root(n*(n+1) Seitenlängen?