Invertierte Wurzelschnecke - möglich - ohne Abmessung?

Hallo,

es gibt ja die Wurzelschnecke, wo man beginnend mit Katheten der Länge 1 im rechtwinkligen Dreieck durch immer anfügen eine Kathete der Länge 1 in 90° an die neue Hypothenuse, alle Hypothenusen zu Wurzeln der Natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5... kreieren kann:

$\sqrt{1},\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4},\ \sqrt{5}$

Nun wollte ich fragen, gibt es auch eine Möglichkeit die invertierenden Wurzeln der Natürlichen Zahlen zu kreieren, also :

$\frac{1}{\sqrt{1}},\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{4}},\ \frac{1}{\sqrt{5}}$

Aber ohne dass man die Länge der neuen Kathete immer (mit Taschenrechner) ausrechnen muss, also so wie Euklid, nur mit Zirkel und Lineal, arbeitet.

Viele Grüße

Answer 1

[GreenxPiece]

Mit katheten die man im 90° Winkel an die vorherige hypothenuse anlegt kann das nicht funktionieren. Die neue hypothenuse wird immer mindestens so groß wie die vorherige (gleich groß wenn die neue kathete die lange 0 hat) Da aber gilt

1 > 1/wurzel2 > 1/wurzel3 > etc. ,

kann man die von dir gewünschte zahlenreihe so nicht konstruieren.

Edit: Skizze zur neuen Überlegung :

n ist hier immer die Zahl in der wurzel der neuen hypothenuse. Die Länge der angelegten kathete ist 1/wurzel(n(n+1) und der Winkel ist arcsin(wurzel(n) / wurzel(n+1))

Somit entsteht eine kathete mit Länge 1/wurzel(n+1) welche für die nächste konstruktion dann zur hypothenuse wird.

Answer 2

[gfntom]

Tipp:

1/Wurzel(n) = Wurzel(n)/n