Integrieren Mathe 1/(2x-1)^2?

Wie leitet man das ,,auf“ bc integrieren?

Answer 1

[Sapiens1337]

Ich hasse es [...] integrieren und differenzieren, meinetwegen auch statt differenzieren "ableiten", aber kein "aufleiten" -.-

$f\left(x\right)=\frac{1}{\left(2x-1\right)^2}$

kann man umschreiben zu

$f\left(x\right)=\left(2x-1\right)^{-2}$

denn es gilt allgemein folgendes Potenzgesetz

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\ ,\ a\ne0$

Das ganze wird nach der Kettenregel integriert, also

$\int\left(2x-1\right)^{-2}\ dx=-\frac{1}{2}\left(2x-1\right)^{-1}$

Als Probe gilt

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$

differenzieren wir unsere Stammfunktion F nach x, folgt

$F'\left(x\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(2x-1\right)^{-2}\cdot2$ $F'\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(2x-1\right)^{-2}$

kürzt sich zu

$F'\left(x\right)=\left(2x-1\right)^{-2}=f\left(x\right)$

Wir haben folglich korrekt integriert.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Physik (Vollfach / Bachelor)

Answer 2

[Rhenane]

Ich würde es in (2x-1)^(-2) dx umschreiben und 2x-1 substituieren:
u=2x-1 => u'=du/dx=2 <=> dx=1/2 du

Das dann einsetzen: Int(1/2 u^(-2) du)= 1/2 u^(-1) + C

re-substituieren: F(x)=1/2 (2x-1)^(-1)=1/(4x-2) + C

Wenn man alle Schritte, also auch die Substitution angeben muss, macht man es wie beschrieben.

Mit etwas "Routine" "überspringt" man die Substitution und denkt so: beim Ableiten wird die innere Ableitung multipliziert; beim Integrieren dividiert (daher mal 1/2). Funktioniert aber nur, wenn die Ableitung eine Konstante ist!
also: F(x)=Int((2x-1)^(-2) dx) = (2x-1)^(-1) * 1/2 +C = 1/(2(2x-1)) +C = 1/(4x-2) +C

Answer 3

[Mathetrainer]

Aufleiten gibt es nicht, das heißt integrieren bzw. Stammfunktion bilden.

$\frac{1}{\left(2x-1\right)^{2\ }}=\left(2x-1\right)^{-2\ }$ Und jetzt Potenzregel mit linearer Substitution.

Answer 4

[Halbrecht]

(2x - 1) muß substituiert werden.

Ich erspare mir die Schreibarbeit und sage : hier

https://www.integralrechner.de/

eingeben. Ich müßte es sonst alles schreiben

Comments

[Sapiens1337]

Naja muss jetzt nicht, kann aber -genauso wie partielle Integration soll es vereinfachen :)

Answer 5

[Jenny534]

und wie formt man sie um damit es leichter ist?