Mathe aufleitung von 2 * Wurzel aus 2x+1? - Integralrechnung?
f(x)= 2 * Wurzel aus 2x+2 integrieren !
kann mir jemand erklären, wie man diese funktion f(x) = 2√(2x+2) aufleitet
ich habe zwei Ergebnisse
- 2/0,5 (2x+1)^ 3/2
- Wurzel aus (2x+1)^3 * 2
5 Antworten
Integration durch Substitution (ersetzen),siehe Mathe-Formelbuch,"Integrationsregeln"
Formel F(x)=Integral(f(z)*dz/z´
F(x)=2*Integral(2*x+2)^0,5*dx
Substitution z=2*x+2 abgeleitet z´=dz/dx=2 ergibt dx=dz/2 eingesetzt
F(x)=2*Int. z^0,5*dz*1/2=1*Int.z^0,5*dz
F(x)=1*z^(0,5+1)*1/(0,5+1)+C
F(x)=1/1,5*(2*x+2)^1,5+C mit 1,5=3/2
F(x)=2/3*Wurzel(2*x+2)^3)+C
siehe Wurzelgesetze Wurzel(a^n)=a^(n/2)
Hinweis: Die Integration durch die Substitution funktioniert nur,wenn z´=dz/dx=konstant ist oder wenn sich das übriggeblibene x aufhebt.
Konstantenregel F(x)=Int. a*f(x)*dx=a*Int.f(x)*dx
Zu integrieren ist:
f(x) = 2*√( 2x+2 )
= 2 * √( 2 * [x+1] )
= 2 * √2 * √( x+1 )
= √8 * √( x+1 )
___________
F(x) = ∫ (√8 * √( x+1 ) )
= √8 * ∫ √( x+1 )
___________
∫ √ ( x+1 )
= ∫( x+1 ) ^ (1/2)
= 1 / (1/2 + 1) * ( x+1 ) ^ (1/2 + 1) + C
= 1 / (3/2) * ( x+1 ) ^ (3/2) + C
= 2 / 3 * √( x+1 )³ + C
___________
=> F(x)= √8 * [ 2 / 3 * √( x+1 )³ + C ]
= √8 * ( 2/3 ) * √( x+1 )³ + √8 * C | √8 * C := C₂
= √8 * ( 2/3 ) * √( x+1 )³ + C₂
___________
Es gilt F'(x)=f(x), also ist F eine Stammfunktion von f.
√( x+1 )³.... da ist der Wurm drin, denn abgeleitet ist ist es 2 * (2x+2!!!)^0.5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9A8+*+(+2%2F3+)+*+%E2%88%9A(+x%2B1+)%C2%B3
[ √( x+1 )³ ]' = [ (x+1)^(3/2)]'
= 3/2 * √(x+1).
Dann die Faktoren √8 und 2/3 davor:
F'(x) = √8 * 2/3 * 3/2 * √(x+1)
=√8 * √(x+1), und das zeigt Wolfram hier auch:
f(x) = 2 * √(2 * x + 2)
f(x) = 2 * √(2 * (x + 1))
f(x) = 2 * √(2) * √(x + 1)
k = 2 * √(2)
f(x) = k * √(x + 1)
f(x) = k * (x + 1) ^ 2
Nun Faktorregel und Kettenregel anwenden.
Innere Funktion :
u = x + 1
Innere Ableitung :
u´ = 1
Äußere Funktion :
v = u ^ (1 / 2)
Äußere Ableitung :
v´ = (1 / 2) * u ^ (1 / 2 - 1)
v´ = (1 / 2) * u ^ (- 1 / 2)
v´ = 1 / (2 * u ^ (1 / 2))
v´ = 1 / (2 * √(u))
Innere Ableitung mal äußere Ableitung :
1 * 1 / (2 * √(u))
u wieder einsetzen und vereinfachen :
1 / (2 * √(x + 1))
Wegen der Faktorregel den Faktor wieder davor :
k * 1 / (2 * √(x + 1))
k wieder einsetzen und vereinfachen :
f´(x) = 2 * √(2) / (2 * √(x + 1))
vereinfachen :
f´(x) = √(2) / √(x + 1)
vereinfachen :
f´(x) = √(2 / (x + 1))
Danke für deine antwort aber ich meinte integrieren, ich muss mich verbessern !
Ok, hatte mich schon gewundert, weil du innerhalb deiner Frage einmal differenzieren und einmal aufleiten geschrieben hattest.
Das ist dumm von mir, ich habe die Frage bearbeitet, danke trotzdem
Korrektur :
f(x) = k * (x + 1) ^ (1 / 2) sollte es selbstverständlich heißen ;-))
differenzieren = ableiten
integrieren = aufleiten (Leider gibt es dieses abgefuckte Wort)
aufleiten : ein ganz ganz schlimmes doofes Wort , wie wahr.
Bitte die Funktion f(x) GENAU definieren:
a) f(x) = 2√(2x+2)
b) f(x) = 2√2x + 2
ich schreib mal nur das Ergebnis hin
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of++:+y+%3D+++2*++(2x%2B1)%5E0.5
...........
Integration durch Substitution (ersetzen)
Formel F(x)=Integral (f(z)*dz*1/z´
z=2*x+2 ergibt z´=dz/dx=2 ergibt dx=dz/2
F(x)=2*Int.z^0,5*dz*1/2
F(x)=1*Int z^0,5*dz=z^(0,5+1)*1/(0,5+1)
F(x)=2/3*Wurzel(2*x+2)^3) +C
is einfacher als dein Weg.