Integralrechnung bei nur einer Nullstelle?
Hallo ihr Lieben.
Ich habe gerade ein Problem in Mathe. Ich soll eine Funktion integrieren. Ist ja eigentlich nicht schwierig aber sie hat nur eine Nullstelle. Ich hab online nichts gefunden was mir weiterhilft und hoffe jemand kann es mir so erklären das es ein Mathe Vollidiot auch versteht.
Schon mal danke im Vorraus
5 Antworten
Merke: man darf bei der "normalen Integration" nicht über Nullstellen hinweg integrieren.
Flächen oberhalt der x-Achse sind bei der normalen Integration "positiv"
Flächen unterhalb der x-Achse sind bei der normalen Integration "negativ"
für die Geasmatfläche glt dann Ages=Betrag(A1) +Betrag(A2)+...Betrag(An)
Beispiel: f(x)0-0,5*x^2+4 integriert F(x)=-0,5/3*x^3+4*x+C
f(x)=.. Nullstellen bei x1=-2,828.. und x2=2,828..
Man kann innerhalb von x1=-2,828 und x2=2,828 integrieren
Maximal aber bei xu=-2,828 und x2=2,828
Beispiel: xu=-2 und xo=2 eingesetzt
A=(-0,5/3*2^3+4*2)-(-0,5/3*(-2)^3+4*(-2)=6 2/3+6 2/3=13 1/3 FE (Flächeneinheiten)
Beispiel: xu=3 und xo=4 eingesetzt
A=(-0,5/3*4^3+4*4)-(-0,5/3*3^3+4*3)=5 1/3-7,5=-2,166...FE (Flächeneinheiten)
Hier ist A= -2,166...FE weil diese Fläche (negativ) unterhabt der x-Achse liegt
Fläche zwischen 2 Funktionen
Formel A=Integral(f(x)-g(x)) *dx
f(x) ist die "obere Begrenzung"
g(x) ist die "untere Begrenzung"
vertauscht man f(x) und g(x) so erhält die Fläche ein anderes Vorzeichen. Die Zahlenwerte verändern sich nicht.
Besonderheit hier: Man kann bei dieser Formel über Nullstellen hinweg integrieren,weil wegen - g(x) die Flächen unterhalb der x-Achse ein "positives" Vorzeichen erhalten.
Somit werden die Flächen unterhalb der x-Achse zu den Flächen oberhalb der x-Achse "automatisch" addiert.
Es wäre erstmal logisch, dir ein Bild um die Nullstelle zu machen. Schneidet der Graph die Nullstelle, oder berührt er ihn nur? Also: Ist der Graph über- und unterhalb der X-Achse zu finden, oder nur über-, oder unterhalb
Wenn er ihn schneidet und keine Grenze gegeben ist, dann berechnest du das Integral vom -unendlichen zur Nullstelle. Dann berechnest du das Integral von der Nullstelle bis zum +unendlichen. Ist der Flächeninhalt gefragt, dann einfach von beiden den Betrag nehmen.
Berührt er ihn nur, dann kannst du das Integral einfach vom -unendlichen bis zum +unendlichen.
Unendlich kann natürlich auch einfach durch die gegebene Grenze ersetzt werden
Einfach unendlich als eine beliebige Variable (z.B. b) nehmen, danach integrieren und am Ende die Variable durch unendlich ersetzen.
Beispiel: Integral von x² in den Grenzen von -unendlich bis 0 = Integral von x² in den Grenzen von -b bis 0.
F(x) = x³/3 in den Grenzen von -b bis 0 = F(-b) - F(0) = ((-b)³/3) - 0³/3 = (-b)³/3
Jetzt das -b durch -unendlich ersetzen und die Stammfunktion lautet: (-unendlich³)/3. Das ist aber im Endeffekt das selbe, wie -unendlich
P.S. handelt es sich sicher nicht um das unbestimmte Integral? Dann nimmst du einfach die Stammfunktion deiner Funktion, hängst +c hinten dran, setzt die Nullstelle ein und hast dein C. Das C setzt du dann in die Stammfunktion ein und du hast du komplette Stammfunktion
Die Funktion ist kubisch und hat somit rein theoretisch 3 Nullstelllen, da diese aber nur durch imaginäre Zahlen zu beschreiben sind würd ich einfach mit den Schnittpunkten der Ableitung integrieren.
Warum sollte sie überhaupt eine Nullstelle haben? Das hat doch nichts mit einer Integration zu tun.
dann muss man glaub einfach von 0 bis zur vorhandenen nullstelle integrieren
Grundsätzlich hat eine kubische Funktion drei Nullstellen, in diesem Fall: 0, 3-i, 3+1. Da diese nicht so viel Sinn machen würde ich es mit den Nullstellen der Ableitung probieren: 0 = {x = 1.183503419072, x = 2.816496580928}
Bist du sicher, dass es kein unbestimmtes Integral ist was du ausrechnen musst?
Das unbestimmte wäre dann:
y=(x^4)/4+(6x^3)/3+(10x^2)/2
also das umgekehrte von der Ableitung ;)
kann man nur schriftlich machen, also das GeoGebra wird dir da nicht helfen
Wie integriert man denn unendlich ?