Mathe: Hilfe bei Integration von 2 Termen?
Hallo, ich komme bei folgenden beiden Aufgaben nicht weiter. Wie integriere ich diese Schritt für Schritt?
1) f(x)= (x^2-4)^3
2) f(x)= (x^2-4)^3 * 2x
Beide jeweils nach x
Freue mich über Hilfe!
4 Antworten
Das sieht auf den ersten Blick ziemlich kompliziert aus, besonders (2) - ist es aber nicht.
Dahinter stecken einfach Polynome, und die bestehen nur aus Potenzfunktionen und sind ziemlich leicht ab- und „aufzuleiten“. Es ist
1) f₁(x) = (x² – 4)³ = x⁶ – 4x⁴ + 16x² – 64
F₁(x) = (1/7)x⁷ – (4/5)x⁵ + (16/3)x³ – 64x + C₁,
wobei C₁ eine Konstante ist, und
2) f₂(x) = (x² – 4)³·2x = 2x⁷ – 8x⁵ + 32x³ – 128x
F₂(x) = (1/4)x⁸ – (2/3)x⁶ + 8x⁴ – 64x² + C₂
mit einer Konstante C₂. Dies ist noch kein Integral. Man pflegt es als „unbestimmtes Integral“ zu bezeichnen, aber eigentlich sind die F₁[C₁](x) die Stammfunktionen von f₁(x) und F₂[C₂](x) die von f₂(x).
Integrale, die den Namen verdienen, ergeben Zahlen, und dafür brauchen wir die Stammfunktionen, denn zur Auswertung eines Integrals braucht man den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:
∫.[a]^{b} f(x) = F(b) − F(a)
Das ganze ist eine Verallgemeinerung der Binomischen Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b2² + 4ab³ + b⁴
Die Koeffizienten (Vorfaktoren) liefert das Pascal'sche Dreieck:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…
Jede Zahl ist Summe der beiden Zahlen schräg über ihr, und so ist
(x² – 4)⁴ = x⁸ – 16x⁶ + 96x⁴ – 256x² + 256,
die Angabe ist ohne Gewähr, denn ich habe es einfach mal kurzerhand ausgerechnet.
Ganz ehrlich:
Man könnte es sicher mit SUbstitution und Co. irgendwie lösen.
Aber ds mit Abstand einfachste ist wohl, die Klammern auszumultiplizieren, sodass du da ein Polynom 6. grades stehen hast.
Und Polynome zu integrieren ist leicht, da man nur jedes Glied einzeln integrieren muss.
zum Konkreten Ausmultiplizieren:
(x^2-4)^3=(x^2-4)^2*(x^2-4)
=(x^4-8x^2+16)*(x^2-4)
=(x^6-8x^4+16x^2)+(-4x^4+32x^2-64)
Ein Bisshen verinfachen und du hast ein schönes Polynom da stehen.
Bei der 2) könnte man das Ganze vll. über die Substitution u:=x^2-4 lösen.
Dies aus dem einfachen Grund, weil dann u'=2x ist und sich das schön mit den 2x wegkürzt, die da stehen.
Wenn du da keine LKust drauf hast oder so, kannst auch einfach das Polynom von oben nehmen und mit 2x multiplizieren; gibt dir ein neues Polynom zum Integrieren :-D
löse doch die klammern auf und integriere dann einzeln
Löse die Klammern auf und berechne die Integrale einzeln.
danke :) den Term (x^2 -4)^3 kann man ja noch gut auflösen...was mache ich denn bei (x^2 -4)^4 ?