Ich hätte eine Frage zur Setzung der Betragsstriche beim Wurzel ziehen?
Warum brauche ich bei der Rechnung sqrt((-3)²) Betragsstriche weil -3 mal -3 ja wieder positiv ist, bzw verstehe ich nicht wann ich überhaupt Betragsstriche anwende
5 Antworten
Deine Frage meint sicherlich, warum bei √(x²) = │x│ die Betragstriche erforderlich sind.
Dein Bsp mit √((-3)²) = │-3│ ist nicht so glücklich, weil da eine Zahl anstelle eine Variablen steht und mit einer Zahl kann man's direkt ausrechnen:
√((-3)²) = √9 = 3
Das ist eindeutig, da die Wurzelfunktion immer nur positive Werte liefert. Also wenn da konkrete Zahlen unter der Wurzel stehen, dann ist das mit den Betragstrichen nicht so wichtig.
Die Betragstriche sind dann wichtig, wenn unter der Wurzel auch Variablen vorhanden sind, so dass der Term, der unter der Wurzel quadriert werden soll, auch negativ sein kann.
Wenn man die Betragstriche weglassen würde und behaupten würde
√(x²) = x für alle reellen x,
dann wäre das eine falsche Behauptung, falls x negativ ist.
Bsp: x=-2
√((-2)²) = √4 = 2 und NICHT -2
Also für negative x gilt:
√(x²) = -x
Eine korrekte Aussage für alle reellen x ist also nur:
√(x²) = │x│ mit Betragstrichen
(ohne Betragstriche wäre es falsch für negative x)
Nun der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert zu:
{ x , x > 0
|x| = { 0 , x = 0
{ -x , x < 0
Alternativ lässt sich dieser auch mithilfe der Quadratwurzel schreiben, es gilt bspw. analog:
|x| = sqrt( x² )
Wichtig ist hierbei darauf zu achten, dass die Quadratwurzel lediglich positive Argumente haben kann und auch nur positive Argumente zurück gibt. Also:
sqrt : (0, inf) ---> (0, inf)
Dehalb gilt zwar:
|x| = sqrt( x² )
jedoch nicht |x| = ( sqrt( x ) )² , da für x < 0 die Quadratwurzel nicht mehr definiert ist !!! In diesem Falle müsste man schreiben:
|x| = ( sqrt( |x| ) )²
Und hier sehen wir auch schon wo diese "zweite Darstellung" für die Betragsfunktion über die Quadratwurzel herkommt. Es gilt ja:
|x| > 0 -----> sqrt( |x| ) ist definiert
Ebenfalls gilt: |x|² = (-x)² = x²
Somit folgern wir schließlich:
|x| = ( sqrt(|x|) )² = sqrt( x² ) mit den Potenzgesetzen.
(-3)² = 9
Demnach müssten die Betragsstriche unter der Wurzel eigentlich auch egal sein, weil sowieso ein positives Ergebnis, nämlich 3 rauskommt. Egal ob in der Klammer nun 3 oder -3 steht. Das Quadrat löst das Minus sowieso auf.
Betragsstriche brauchst du eigentlich nur dann, wenn der Radikand negativ werden würde, da wir aus den reellen Zahlen keine negative Wurzel ziehen können. Eben genau aus dem Grund, dass minus mal minus immer plus ist und wir beim Wurzel ziehen ja berechnen, was mal sich selbst die Zahl unter der Wurzel ergibt.
Ansonsten musst du je nach Aufgabe hinschreiben, dass du z.B. √-5 nicht im Bereich der reellen Zahlen berechnen kannst. Das Ergebnis ist demnach nicht definierbar. So musst du es z.B. bei der Nullstellenberechnung klassischerweise tun.
Richtig, das habe ich ja auch mehrmals gesagt. Wo liegt jetzt dein Verständnisproblem? Wo meinst du, hätte ich etwas anderes gesagt?
Also warum darf ich dann von einem negativen Radikanden die Wurzel ziehen, wenn ich das Ergebnis in Betragsstriche setze
Der Grund liegt in den Betragsstrichen selbst.
Betragsstriche machen das zwischen den Betragsstrichen in jedem Fall positiv. Hast du z.B. den Betrag von 5-10, wären das durch die Betragsstriche 5, nicht -5:
5 - 10 = -5
|5-10| = |5|
Dafür sind die Betragsstriche eben da. Sie werden z.B. auch verwendet, wenn man eine Fläche berechnet, wo z.B. bei Integralen dann negative Flächeninhalte raus kommen können, deren Vorzeichen man demnach umdrehen muss. Deswegen würde man dann die Fläche in Betragsstriche schreiben.
Aber wenn ich in den Taschenrechner sqrt(-3) eingebe wird ein Fehler angezeigt
Das ist klar, denn du willst eine Wurzel aus einer negativen Zahl wissen, was wie gesagt nicht geht.
In deinem beispiel aus der Frage hast du aber die Wurzel aus (-3)² gezogen.
(-3)² = (-3) * (-3) = 9
Damit würdest du also die Wurzel aus 9, nicht aus -3 ziehen.
Wenn du die Wurzel aus -3 selbst ziehst, geht das aber nicht.
Denn keine Zahl mit sich selbst genommen ergibt -3.
Beispiel mit der 9:
Die Wurzel aus 9 ist 3, denn 3*3 = 9.
Die Wurzel aus -9 gibt es aber nicht. Denn 3*3 als auch (-3) * (-3) sind 9. Nie wird es -9.
Aber warum setze ich dann z.B bei der Aufgabe sqrt((x+y)²) Betragsstriche, z.B für die Zahlen x=1 y=-5 dann hätte ich ja (-4)² was wiederum positiv ist, also bräuchte ich hier doch keine Betragsstriche
Da stimme ich dir zu.
Ich habe Aufgaben dieser Art leider noch nie gehabt. Auch nicht jetzt im Abiturjahrgang auf dem Gymnasium und auch nicht im Mathematik Leistungskurs, in dem ich bin.
Aber (x+y)² wird in jedem Fall eine positive Zahl. Egal wie negativ die Klammer auch werden würde. Auch, wenn in der Klammer eine null rauskommen würde. 0² = 0 und die Wurzel aus null wäre ebenso null und damit definierbar. Betragsstriche braucht man hier an sich meiner Meinung nach nicht.
Wie genau lautet denn überhaupt deine Aufgabe?
Also das ist ein Eintrag welchen ich nicht verstanden habe, vielleicht habe ich aber auch einfach falsch abgeschrieben
Kann sein. Ich kann das so nicht bewerten, weil ich auch gar nicht weiß, was ihr da genau macht. Aber an sich mathematisch gesehen brauchst du da wie gesagt keine Betragsstriche.
Das Problem des FS ist folgendes:
Warum ergibt für reelle x:
√(x²) nicht einfach nur x sondern │x│?
In meiner Antwort hab ich's erklärt.
Genau bei deinem Bsp: sqrt((x+y)²) z.B für die Zahlen x=1 y=-5, DA brauchst du die Betragstriche!
Also du hast √((1-5)²)
Wenn du jetzt einfach die Betragstriche weglassen würdest, also wenn du behaupten würdest:
√((1-5)²) = (1-5) ohne Betragstriche auf der rechten Seite, dann ist das FALSCH, denn (1-5) = -4
Aber richtig ausgerechnet kommt +4 raus und nicht -4
√((1-5)²) = √((-4)²) = √16 = 4
Man braucht keine.
Wurzel aus 9 ist 3, nicht Betrag von 3.
Wurzel aus 9 ist nur die positive Lösung der Gleichung x² = 9, die negative ist aus verschiedenen Gründen herausdefiniert worden.
Man kann natürlich sagen, dass Betrag von -3 zum Quadrat 9 ergibt, da auch 3 zum Quadrat 9 ergibt, das gilt natürlich für alle negativen Zahlen.
Evtl. soll nur an einem Beispiel gezeigt werden, dass sqr a² nicht unbedingt a ist (naheliegend, da ja "Wurzel" wie das Gegenteil von "hoch 2" erscheint), sondern |a|?
Aber der Radikand darf doch nicht negativ werden weil doch gilt das a größer gleich 0 sein muss