Ich darf als Azubi meinen Arbeitsrechner mit nachhause nehmen, darf ich dort dann auch privat surfen?

Das sind zwei völlig getrennte Fragen, auch wenn sie in einen Thread gehören, wenn du beides gleichzeitig wissen willst.

Grundsätzlich darf man nichts von der Arbeit nach Hause mitnehmen ohne zumindest eine implizite Genehmigung vom Chef zu haben. Z. B. Notebook mit nach Hause nehmen, weil man bis zum Start der genehmigten Dienstreise die daheim beginnt und wo das Notebook wahrscheinlich gebraucht wird nicht mehr auf der Arbeit ist, ist meist ok.

Privatnutzung von Dingen die der Firma gehören, ist vom Grundsatz her auch verboten, außer es gibt eine entspr. Regelung.

notting

Im absolut geringem Umfang ist das erlaubt. Wenn da irgendwas mit passiert, Viren kommen, du da eine Festplatte anschließt mit dubiosen Daten, der Virenscanner das registriert und Meldung an die betreuende IT Abteilung macht, bekommst du Ärger.

Das "mit nach Hause nehmen" ist unabhängig von "Privatnutzung". Bitte versichere Dich hierzu bei Deinem Unternehmen. Wir kennen Deinen Ausbildungsvertrag und die allgemeinen betrieblichen Regelungen in Deinem Fall nicht.

Nein darfst du nicht sofern der Arbeitgeber das nicht explizit erlaubt hat.

würde ich auf gar keinen Fall machen

wenn irgendetwas ist (Vieren, Trojaner) dann hast du ein Problem