Hilfe bei ggT und kgV (Mathematik)?
Hallo zusammen !
Ich bin absolut schlecht in Mathematik und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter :(
gegeben :
ggT(a,b) = 12 ; kgV(a,b)=2520 ; a hat genau 12 Teiler
Wie kann ich alle Möglichkeiten für a und b herausfinden bzw bestimmen?
4 Antworten
auf dieser Seite findest du Aufgaben mit Lösungen und Erklärungen dann verstehst du es sicher
Beide Zahlen sind Vielfaches von 12
Teile 2520 durch 12 >> Ergebnis 210
Zerlege 210 in Primzahlen 210 = 2 • 3 • 5 • 7
Bilde beliebige Paare aus den Faktoren 2, 3, 5 und 7
3 Beispiele:
a) 2 • 3 • 5 = 30 und 7
b) 2 • 3 • 7 = 42 und 5
c) 2 • 3 = 6 und 5 • 7 = 35d) ...
...
Multipliziere diese Paare mit 12
a) 360 und 84
b) 504 und 60
c) 72 und 420
Kontrolle für a)
360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5
84 = 2 • 2 • 3 • 7
ggT = 2 • 2 • 3 = 12
kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7 = 2520
Das ist auch ehrlich gesagt keine einfache Aufgabe. Du mußt sowohl die 12 wie auch die 2520 in sogenannte Primfaktoren zerlegen, d.h. dir überlegen, wie Primzahlen multipliziert werden damit gerade 12 bzw. 2520 heraus kommen. Ich gebe dir mal den Hinweis für 12. 12 = 3*2*2, d.h. besteht aus den Primzahlen 3 (einfach) sowie 2 (doppelt). Vielleicht versuchst du das mal für 2520, und dann rechnen wir gemeinsam weiter. Du gehst dabei wie folgt vor: Die kleinste Primzahl die in 2520 steckt ist 2. Du teilst also 2520 durch 2 und erhälst 2520 = 2*1260. Die kleinste Primzahl die in 1260 steckt ist wieder 2. Also 2520 = 2*2*630. Usw. bis du nicht mehr durch 2 teilen kannst. Dann probierst du es mit 3 solange bis nichts mehr geht, dann mit 5, dann mit 7, dann mit 11 usw.
Wenn du die volle Primzahlzerlegung hast machen wir (morgen, bei mir ist gleich Schluß) weiter.
Genau, das ist richtig, sehr gut. So schlecht bist du in Mathe doch gar nicht, offensichtlich sind zumindest einige Grundfertigkeiten (die ich in anderen Antworten so heftig bewerbe) vorhanden.
So, nun wird es ein wenig trickreich. Es gilt (das habt ihr bestimmt irgendwo aufgeschrieben):
ggT(m, n)*kgv(m, n) = m*n
Das bedeutet kurz gesagt, im Produkt aus dem ggT 12 und dem kgV 2520 sind alle Primfaktoren von m und n in der richtigen Vielfachheit enthalten. Wir müssen uns also nun die Zahlen 2, 3, 5 und 7 anschauen und sie so zu m kombinieren, dass aus ihnen GENAU die 12 in der Aufgabe erwähnten Teiler raus kommen. Dabei dürfen wir natürlich die Vielfachheit der jeweiligen Primfaktoren (5 für 2, 3 für 3, 1 für 5 und 7) nicht überschreiten. Die restlichen Primfaktoren bilden dann n.
Eine der Lösungen auf die ich gekommen bin ist m = 140 = 2*2*5*7 mit den Teilern 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 und 140. Eine weitere drängt sich auf wenn du dir überlegst was statt den beiden 2en dastehen könnte ohne am Prinzip etwas zu ändern. Bei allen anderen Kombinationen bin ich auf entweder zu viele oder zu wenig Teiler gekommen. Scheue dich aber nicht davor, das selbst mal ein wenig auszuprobieren.
Das Ausrechnen von n überlasse ich dir als Übung :-).
Hi @Marie1395, ich habe gar nicht mehr erfahren ob das nun hilfreich für dich war :-(.
Primfaktorzerlegung ist wirklich leicht. Ich mach mir das immer mit einem Baum ich schicke gleich ein Bild
Erst einmal vielen Dank für den Hinweis ! Ich probiere das gleich aus :)
vielleicht kannst du meine Antwort auf die Farge noch gebrauchen.
https://www.gutefrage.net/frage/ggt-und-kgv-gegeben-zahlen-gesucht
Ich bin bei Deinen Antworten auf diese Frage gestoßen.
Habe aber erst, als ich meine Antwort schon abgeschickt hatte, gesehen, das die Aufgabe schon fast 9 Monate alt ist (:-)))
Also ich saß noch gestern Abend daran und habe folgendes aufgeschrieben :
2520 = 2^3 • 3^2 • 5 • 7
Ist es soweit richtig ?