Hilfe bei Aussagenlogik?

(X∨Y) <=> (X↑X)↑(Y↑Y)

Die Aufgabe ist, die Äquivalenz zu beweisen, allerdings bin ich der Meinung dass die Aussagen gar nicht Äquivalent sind?

(X↑X)↑(Y↑Y) wäre doch äquivalent zu (X∧Y)

Hab auch schon ChatGPT befragt, es hat allerdings auch keine Äquivalenz in Wahrheitstafeln gefunden und bin jetzt ratlos.

Answer 1

[mihisu]

Die Äquivalenz von solchen Aussageformen kann man recht einfach über Wahrheitstabellen zeigen bzw. widerlegen. Bei zwei Variablen (X, Y) braucht man dafür nur 2² = 4 Fälle durchgehen...

Du solltest hier erkennen können, dass die Äquivalenz in jedem der 4 Fälle wahr ist. Womit die Äquivalenz bewiesen ist.

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Ansonsten könntest du die NAND-Veknüpfung A ↑ B auch jeweils durch eine negierte Und-Verknüpfung ersetzen. (Diese Äquivalenz sollte dir doch hoffentlich bekannt sein.)

$A\uparrow B \quad\Leftrightarrow \quad \overline{A\wedge B}$

Damit erhält man dann...

$\begin{array}{rcl}\left(X\uparrow X\right) \uparrow \left(Y\uparrow Y\right)& \Leftrightarrow & \overline{X\wedge X} \uparrow \overline{Y\wedge Y}\\ & \Leftrightarrow & \overline{X} \uparrow \overline{Y}\\ & \Leftrightarrow & \overline{\overline{X} \wedge \overline{Y}}\\ & \overset{[*]}{\Leftrightarrow} & \overline{\overline{X}} \vee \overline{\overline{Y}}\\ & \Leftrightarrow & X \vee Y\end{array}$

Dabei ist im mit [*] markierten Schritt die de-morgansche Regel eingegangen. Und da liegt vermutlich dein Fehler, dass du nicht beachtet hast, dass dort die Und-Verknüpfung zu einer Oder-Verknüpfung wird.

Answer 2

[aperfect10]

Du kannst die Wertetabelle ja auch selbst machen, dann siehst Du ja ob die Aussagen äquivalent sind.

@TBDRM Der Pfeil nach oben steht für "nicht und" (sog. Sheffer'scher Pfeil).

Comments

[Halbrecht]

@tbdrm : ist seine Antwort , kommentar gelöscht worden ?

[aperfect10]

@Halbrecht

Nein, er hatte eine Nachfrage gestellt.