Von Äquivalenzrealtion zu Abbildung?

Hallo Leute,

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Ich muss beweisen:

Da p ja auf jeden Fall eine Abbildung ist, weil ja zu jedem a aus A das passende [a]~ aus C bestimmen kann,

muss man nur zeigen, dass p die Eigenschaft

a1 ~ a2 äquivalent zu p(a1) = p(a2) für alle a1, a2 aus A erfüllt.

Wenn man jetzt a1 und a2 in p einsetzt dann bekommt man:

a1 ~ a2 äquivalent zu [[a1]] ~ = [[a2]]~

Aber ich weiß nicht, wie mir das hilft, um die Aussage zu beweisen.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Definition von Äquivalenzklasse: [[a1]] = {a ∈ A: a ∼ a1}
Wenn a1 ∼ a2, gilt wegen Transitivität für alle a ∈ A: a ∼ a1 ⇔ a ∼ a2.
Also {a ∈ A: a ∼ a1} = {a ∈ A: a ∼ a2}.

Wegen Reflexivität gilt a1 ∼ a1 und a2 ∼ a2, also a1 ∈ [[a1]] und a2 ∈ [[a2]]. Wenn jetzt diese beiden Mengen gleich sind liegt also auch a1 ∈ [[a2]] und es gilt a1 ∼ a2.