Grenzwert dieser Folge?

Hey Leute 👋,

Ich arbeite gerade an einem Abgabeblatt und komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Die Folge in Teilaufgabe a konvergiert eindeutig gegen 0 und für die Folge in c hat keinen, da -2^n oszilliert. Bei der Teilaufgabe b bin ich allerdings ratlos. Nach dem einsetzen von Werten vermute ich, dass es sich um 0,5 handelt, allerdings ist mir kein Verfahren bekannt, dass mich zum Ergebnis führt.

Wenn jemand einen Lösungsvorschlag hätte würde mir das extrem weiterhelfen

.🙏

LG

Answer 1

[eterneladam]

Bei (b) multipliziere mit (Wurzel(1+1/n)+1))/(Wurzel(1+1/n)+1)) und nutze die dritte binomische Formel, um zu erhalten:

1/Wurzel(1+1/n)+1)

Das geht offensichtlich gegen 1/2.

Answer 2

[LoverOfPi]

Nachtrag zu c)

Betrachte

$c_n=\frac{1+2^n}{1+2^n+\left(-2\right)^n}=\frac{1}{1+\frac{\left(-2\right)^n}{1+2^n}}=\frac{1}{1+\frac{\left(-1\right)^n\cdot2^n}{1+2^n}}=\frac{1}{1+\frac{\left(-1\right)^n}{\frac{1}{2^n}+1}}$ und jetzt kann man die nicht Konvergenz quasi ablesen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im dritten Semester.

Answer 3

[Kalzambar]

Multiplizier n erstmal rein, dann steht dort Wurzel(n^2+n) - n. Der Trick ist jetzt mit (Wurzel(n^2+n)+n) zu multiplizieren und zu dividieren, damit änderst du nichts am Term, weil du nur mit 1 multiplizierst. Aber im Zähler kannst du jetzt die Wurzeln durch die dritte binomische Formel wegkriegen.

Etwas Umstellen und man sieht recht schnell, dass der Grenzwert 1 ist (sofern ich auf die schnelle keinen Rechenfehler habe).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 4

[DerRoll]

a) Kürze mit der höchsten Potenz von n.

b) Verwende die dritte binomische Formel "rückwärts", um die Wurzel los zu bekommen. Merke dir den Trick, der ist wirklich wichtig.

c) betrachte die Teilfolge für m = 2n+1

Nachtrag zu b:

$\sqrt{a} - b = \frac{(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b)}{\sqrt{a} + b} = \frac{a - b^2}{\sqrt{a} + b}$