Hallo hat jemand eine Idee wie man hier die Fourier Reihe berechnet von der gegeben periodischen Funktion?

Ich dachte immer man brauch bzw. es muss t1, t2 gegeben sein, damit man dann T = t_2 - t_1 berechnen kann.

Answer 1

[mihisu]

Ich dachte immer man brauch bzw. es muss t1, t2 gegeben sein, damit man dann T = t_2 - t_1 berechnen kann.

Naja, die Periodendauer T ist doch wegen

$f(t+2\pi)=f(t)$

offensichtlich durch T = 2π gegeben.

Bzw. hast du auch die Funktionsgleichung für f(t) auf dem Intervall [0; 2π] der Länge 2π gegeben, so dass es sich anbieten würde, dementsprechend mit t₁ = 0 und t₂ = 2π zu arbeiten.

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Für die Fourierreihe erhält man dann...

$\hat{f}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot k\cdot t\right)+b_k\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot k\cdot t\right)\right)$

$\xrightarrow{T=2\pi}\quad \hat{f}(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cdot \cos\left(k t\right)+b_k\cdot \sin\left(k t\right)\right)$

... mit...

$a_k=\frac{2}{T}\cdot \int\limits_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot k\cdot t\right)\,\text{d}t\quad \text{ für }k\geq0$

$\xrightarrow{t_1=0, t_2=2\pi, T=2\pi}\quad a_k=\frac{1}{\pi}\cdot \int\limits_{0}^{2\pi}f(t)\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t\quad \text{ für }k\geq0$

$b_k=\frac{2}{T}\cdot \int\limits_{t_1}^{t_2}f(t)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T}\cdot k\cdot t\right)\,\text{d}t\quad \text{ für }k\geq 1$

$\xrightarrow{t_1=0, t_2=2\pi, T=2\pi}\quad b_k=\frac{1}{\pi}\cdot \int\limits_{0}^{2\pi}f(t)\cdot \sin\left(k t\right)\,\text{d}t\quad \text{ für }k\geq 1$

===============

Im konkreten Fall ist dann also...

$a_k=\frac{1}{\pi}\cdot \int\limits_{0}^{2\pi}f(t)\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t$

$a_k=\frac{1}{\pi}\cdot \left(\int\limits_{0}^{\pi}f(t)\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t+\int\limits_{\pi}^{2\pi}f(t)\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t\right)$

$a_k=\frac{1}{\pi}\cdot \left(\int\limits_{0}^{\pi}3 t\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t+\int\limits_{\pi}^{2\pi}\left(-3\right)\cdot \cos\left(k t\right)\,\text{d}t\right)$

[...]

Den Rest bekommst du nun nach dieser Hilfestellung hoffentlich selbst hin.

Comments

[Akademiker99]

Woran hast du jetzt erkannt was t_1 und was t_2 ist. Kannst du das evtl etwas anfängerfreundlich erklären? Wäre Mega nett

Achso habe es schon verstanden. Mihisu du bist wirklich der Mathe goat.

Danke dir

[mihisu]

@Akademiker99

Naja, auf welchem Intervall hast du denn die Funktionsgleichung gegeben?

Du hast die Funktionswerte abschnittsweise für t ∈ ]0; π] und für t ∈ ]π; 2π] gegeben, also zusammen für t ∈ ]0; 2π] gegeben. Das ist ein Intervall der Länge 2π, was der aufgrund f(t + 2π) = f(t) vorgegebenen Periodenlänge 2π entspricht. Dementsprechend bietet es sich doch offensichtlich an, diese Intervallgrenzen 0 und 2π des Intervalls ]0; 2π] als t₁ und t₂ zu verwenden.

Das musst du aber nicht so machen. Du könntest theoretisch beispielsweise auch t₁ = π/6 und t₂ = 13π/6 verwenden. Es ist eigenlich relativ egal, wie du t₁ und t₂ konkret wählst, solange die Intervalllänge t₂ - t₁ gleich der Periodendauer (hier: 2π) ist.

[Akademiker99]

@mihisu

Hab’s schon verstanden. Berechne gerade a_0. Ich lade das gleich mal hoch. Kannst ja mal darüberschauen und deinen Senf dazu abgeben

[Akademiker99]

@mihisu

Ich habe a_0 mal berechnet und die Frage ergänzt. Würdest du sagen das ist richtig berechnet?

Answer 2

[ProfFrink]

Du gehst wahrscheinlich von folgender Fourierformel aus und suchst in der Aufgabenstellung nach Hinweisen für t_1 und t_2.

Diese Angaben stehen nicht explizit da. Aber t_1 ist der Anfang Deiner Periode und ist bei Deiner Funktion

mit dem Wert t_1=0 gegeben. Für t_2 gilt t_2 = 2π. Somit gilt auch T=2π. Die eigentliche akademische Leistung besteht jetzt darin, dass die periodische Funktion bereichsweise definiert ist. Darum muss das Integral aufgespalten werden.

Ergänzung:

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Akademiker99]

Habe a_0 mal berechnet und in der Frage ergänzt. Würdest du sie sagen a_0 habe ich richtig berechnet.

[ProfFrink]

@Akademiker99

Nicht ganz richtig. Habe meine Rechnung ebenfalls zu meiner Antwort hinzugefügt.