Fourier-Reihe von e^x?
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich muss die Fourier-Reihe von der 2pi-periodischen Funktion f gegeben für xelement von 0-2pi durch f(x)=e^x berechnen. Und die Summe dieser Reihe. Für ao ist es einfach , aber für an und bn komme ich einfach nicht weiter , ich hoffe ihr könnt mir helfen
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Kennst du die Formeln für die Koeffizienten nicht, oder kannst du das Integral nicht auflösen?
Also eingesetzt ergäbe a_n = 1/pi * I (0->2pi) e^x * cos(nx) dx
Das integral kannst mit "doppelter" partiellen Integration auflösen, indem du zunächst cos(nx) als g'(x) und dann sin(nx) als g'(x) wählst. Dann kommst du für den Integral auf folgende Gleichung:
I e^x * cos(nx) dx = e^x / n^2 (n sin(nx) + cos(nx) - 1/n^2 I e^x * cos(nx) dx
Das kannst du dann nach dem gesuchten Integral auflösen, also nur noch + 1/n^2 I ... dx rechnen.
Hoffe das ist verständlich so, sonst einfach nochmals nachfragen :)
Vielleicht gibt es auch eine schnellere Version für den Integral, aber die ist mir in den Sinn gekommen...
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Achso, ja ich benutze eigentlich immer die reale Darstellung, aber hier würde es mit der komplexen wohl etwas schneller gehen...
Dann hast du für den Koeffizienten:
c_n = I e^x*e^(-nix) dx = I e^(x-nix) dx = e^(x-nix) / (1-ni)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
* das Integral noch mit 1/(2pi) multipliziert, und von 0 bis 2pi
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Kesselwagen/1580255067767_nmmslarge__1050_655_2060_2060_837dea54bb697cc818f8acbe805f4f52.jpg?v=1580255068000)
Hey,
- a_k = 1 / π * ∫ e^t cos(kt) dt [0, 2π]
Das Integral kannst Du separat mithilfe der Produktregel ausrechnen (finde ich einfacher als das bestimmte Integral):
- u' = cos(kt) --> u = sin(kt) / k
- v = v' = e^t
- ∫ e^t cos(kt) dt = 1 / k * (e^t sin(kt) - ∫ e^t sin(kt) dt)
Nochmal die Produktregel:
- u' = sin(kt) --> u = -cos(kt) / k
- v = v' = e^t
- = 1 / k [e^t sin(kt) - (- (e^t cos(kt)) / k + (∫ e^t cos(kt)) dt) / k]
Aufgelöst nach dem Integral:
- ∫ e^t cos(kt) dt = [e^t (k sin(kt) + cos(kt))] / (k^2 + 1)
Man kann jetzt die Grenzen einsetzen und 1 / π als Vorfaktor wieder dranfügen. Es ergibt sich für a_k:
- a_k = (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1))
Analog für b_k als Integral b_k = 1 / π * ∫ e^t sin(kt) dt [0, 2π] nach zweifacher partieller Integration, Auflösen und Einsetzen:
- b_k = (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1))
Mit berechnetem a_0 ergibt sich für die Fourierreihe:
- Φ(t) = (e^(2π) - 1) / (2π) + ∑ (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1)) cos(kt) + (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1)) sin(kt) [k = 1, ∞]
Hier kannst Du Dir das nochmal schön grafisch veranschaulichen... Dreh mal mit dem Regler rum, um für verschiedene k unterschiedlich genaue Annäherung von e^t zu erhalten:
https://www.desmos.com/calculator/idt8c7lbwo
---
LG. Kesselwagen
Die Fourier-Koeffizienten sind einfach, aber halt das Auflösen fällt mir schwer, habe auch im Internet recherchiert aber da gibt es nur über komplexe Zahlen.. Danke für den Tipp , ich werde mich später an die Aufgabe wieder ransetzten und melde mich