Gleichung mit x im Exponent?
Hallo, ich krieg eine Gleichung nicht gelöst:
(4 hoch x) plus (6 hoch x) = 2 mal (9 hoch x)
Wenn ich das umforme, kommt sowohl 2 hoch x ales auch 3 hoch x raus und das krieg und nicht weg...
Könnte mir bitte jemand helfen, das auszurechnen? Bitte auch den Rechenweg.
Vielen Dank schon mal!
5 Antworten
4^x +6^x=2*9^x
x=0 ist eine Lösung der Gleichung
2^2x +2^x *3^x=2*3^2x
(4/9)^x +(2/3)^x=2
für x>0 kann es keine Lösung geben, da (4/9)^x und (2/3)^x streng monoton abnehmend sind und bei x=0 den Wert 1 aufweisen; es gilt somit:
(4/9)^x und (2/3)^x ist <1 für x>0
und für x<0 kann es auch keine Lösung geben, da (4/9)^x und (2/3)^x streng monoton abnehmend sind und bei x=0 jeweils den Wert 1 aufweisen; es gilt somit für x<0:
(4/9)^x>1 und (2/3)^x>1
Joo Bro
ist eine korrekte Umformung und damit bereits ein erfolgreiches Ergebnis deiner Bemühungen.
Wider Erwartens und entgegen des augenscheinlichen Widerspruches hat diese Gleichung eine reelle Lösung:
Nämlich
denn
Ich sehe nicht recht, wie man von der gegebenen Gleichung auf 2^x = 3^x kommt. Wie wird man insbesondere die Summe los ? Ein kleiner Tipp genügt vielleicht ...
Hallo,
eine Alternative zur korrekten Antwort von fjf100:
Teile beide Seiten durch 9^x:
(4/9)^x+(2/3)^x=2
4/9=(2/3)²
(4/9)^x=[(2/3)^x]^2.
Substituiere (2/3)^x durch u:
u²+u-2=0
Entweder pq-Formel oder Satz von Vieta:
(u-1)*(u+2)=0
Satz vom Nullprodukt:
u=1 oder u=-2.
Da (2/3)^x niemals negativ sein kann, bleibt für u nur die 1 also Lösung übrig.
Es muß also gelten: (2/3)^x=1
Da ln (a^b)=b*ln(a), ergibt das Logarithmieren beider Seiten:
x*ln (2/3)=ln(1)=0
Gilt nur, wenn x=0.
Herzliche Grüße,
Willy
4^(x)+6^(x)=2*9^(x)
Trick: 4³=64 → ln(4^(3)=3*ln(4)=ln(64) Logarithmengesetz log(a^(x))=x*log(a)
also 4^(x)=ln(4^(x))=x*ln(4)
x*ln(4)+x*ln(6)=2*x*ln(9)
0=x*ln(4)+x*ln(6)-2*x*ln(9)=x*(ln(4)+ln(6)-2*ln(9))
Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0
also x=0 weil 0 * Konstante=0 ist
Das Ergebnis sieht man so schon,weil a⁰=1
4⁰+6⁰=2*9⁰
1+1=2*1 also x=0
Bei solchen Aufgaben immer mit x=0 und x=1 probieren
kleiner Fehler:
beim logarithmieren müssen die kompletten Terme vom log erfasst werden