Gibt es beim Aufleiten auch die Produktregel?
Muss man beim Aufleiten, wie beim Ableiten auch eine Produktregel beachten & wenn ja, ist die Formel die selbe?
5 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch,Kapitel,Integralrechnung,Integrationsregeln,Grundintegrale,Anwendung der Integralrechnung.
Da brauchst du nur abschreiben
partielle Integration F(x)=∫u*dv=u*v-∫v*du
Beispiel: F(x)=∫x*sin(x)*dx
u=x → u´=du/dx=1 → du=1*dx
dv=sin(x) → v=∫sin(x)*dx=-1*cos(x)
...=x*(-1)*cos(x)-∫(-1)*cos(x)*1*dx=....+1*∫cos(x)*dx
F(x)=(-1)*x*cos(x)+1*sin(x)+C
manchmal funktioniert die Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=∫f(z)*dz/z´
Beispiel: F(x)=∫x*(x²-4) Substitution z=x²-4 → z´=dz/dx=2*x → dx=dz/(2*x)
..=∫x*z*dz/(2*x)=1/2*z^(1+1)*1/(1+1)+C
F(x)=1/4*(x²-4)²+C
meinst du Integrieren mit ,,Aufleiten''? dann ja, hier findest du alle Regeln: https://www.mathebibel.de/integrationsregeln
Ja, das heißt dann aber partielle Integration, weil die Umkehrung der Produktregel noch einen Integrationsteil rechts belässt, so dass man nur einen Teil integriert, der übrige muss weiterbearbeitet werden, so dass diese Technik nicht in jedem Fall funktioniert:
Das hintere g' muss irgendwie zur Konstanten werden oder das rechte Integral insgesamt hinreichend ähnlich dem linken Integral, damit das ganze lösbar wird. Ggf. gibt es weitere Fälle der Lösbarkeit.
Allgemein wird es so ausgedrückt, dann sieht man auch den Zusammenhang zur Produktregel
Beim "Aufleiten", d.h. Integrieren gibt es die "partielle Integration", welche das Gegenstück zur Produktregel ist. Das kannst du problemlos im Web nachschauen, z.B. bei Wikipedia.
Die Partielle Integration ist das Pendant zur Produktregel.