Muss man bei der Produktregel beim aufleiten etwas beachten, oder ist das wie beim ableiten?

Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen auf dem Intervall [a,b]. Es folgt:

(u*v)´ = u´ * v + v´ * u   (Produktregel)

Umstellen liefert:

u´ * v = (u*v)´ - v´ * u

Ausführen des Integrals über [a,b] auf beiden Seiten liefert uns dann:

Int[a,b]{ u´ * v  dx } = Int[a,b]{ (u*v)´ dx } - Int[a,b]{ v´ * u  dx }

Und unter Berücksichtigung des 1. und 2. Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhalten wir:

Int[a,b]{ u´ * v  dx } = [u(b)v(b) - u(a)v(a)] - Int[a,b]{ v´ * u  dx }

dies ist die Formel für die sogenannte "Partielle Integration" und ist unter obigen Vorraussetzungen an u und v gültig.