Anzahl Teiler einer Zahl
Hallo zusammen
Wieviele Teiler hat die Zahl 68024448. Die Zahl lässt sich zerlegen in 2^7 und 3^12. Nun kann man doch theoretisch mit Hilfe der Kombinatorik, die Anzahl Teiler bestimmen, indem man all die verschiedenen Produktemöglichkeiten herausfindet. Meine Frage: Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise oder eine Formel für dieses Problem? Ich meine es dauert doch viel zu lange, um alles von 7! / 2 + 7! / 3 etc. etc. zusammenzuzählen.
Danke für Eure Antworten!
3 Antworten
http://de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion
Hat n die Primfaktorzerlegung n = p1^(e1) · p2^(e2)... so gilt d(n) = (e1+1)·(e2+1)...
Hier also d(n) = (7+1)(12+1) = 104
(war schlecht gedacht von mir)
Die Reihenfolgen der Faktoren spielen keine Rolle, also treten hier keine Fakultäten auf. Es geht nur um die möglichen Exponenten der Primfaktoren.
Die Kombinatorik kommt natürlich indirekt mit hinein, aber die Überlegung ist so einfach, dass man davon nichts merken muss.
Jeder Teiler der Zahl ist ja wieder durch 2 oder durch 3 teilbar. (Das ist eine entscheidende Eigenschaft der Primzahlen; wird auch als Definition von "Primzahl" verwendet.)
Also haben alle Teiler der Zahl wieder nur die Primfaktoren 2 und 3, allerdings mit verschiedenen Exponenten.
Der Exponent von 2 kann maximal 7 sein, der Exponent von 3 maximal 12. (Warum?)
Die Exponenten sind natürlich ganzzahlig und nicht-negativ, da wir nur positive, ganze Teiler zulassen.
Also ist genau jede Zahl, die den Primfaktor 2 mindestens 0 mal und höchstens 7 mal und den Primfaktor 3 mindestens 0 und höchstens 12 mal hat, ein Teiler der gegebenen Zahl. Wie viele Faktoren sind das insgesamt?
(Wenn man auch negative Teiler zulässt, verdoppelt sich natürlich die Anzahl der Teiler. Aber das gilt ja für alle Zahlen.)