Folgenglieder rekursive Folge bestimmen?
Lösung:
1_Fragezeichen. Warum 1 + 1 ? 2/2 = 1 klar Wurzel(3)/2 ist 0,86...
also Warum 1 + 1 = 2???
2_Fragezeichen:
Müsste hier das <= nicht ein >= sein, so dass x(n+2) >= x(n+1) ist unter der i.A.?
3_Fragezeichen:
Warum muss x > 0 sein, so dass nur x = [1+ Wurzel(5)]/2 als Lösung in Frage kommt?
1 Antwort
1) Wor wollen ja zeigen, dass x(n+1)<=2 gilt. Das heißt wir müssen x(n+1) nicht genau berechnen, sonder können abschätzen. Da sqrt(3)/2<1 reicht uns das.
2) Ja, die Ungleichung ist falsch herum.
3) Wir haben gesehen, dass x(0)=1 ist und die Folge monoton wächst. Dann kann der Grenzwert nicht negativ sein.
Falls für ein n x(n)<=x(n+1) gilt, dann gilt auch x(n+1)<=x(n+2). Das wurde ja gezeigt. Durch den Fall n=0 wissen wir aber, dass x(0)<=x(1) und daher auch x(1)<=x(2). Dadurch aber auch x(2)<=x(3) und so weiter.
Noch ein paar Fragen:
Wenn man die Monotonie durch Induktion prüft hier in der Aufgabe
I.B. (Induktionsbehauptung) x0 < x1 d. h. für mich:
Behauptet wird, dass der Startwert kleiner ist als sein Nachfolger
I.A.(Induktionsannahme) x(n) < x(n+1) für ein n >=0
Fragen zur I.A. => So verstehe ich das
Es wird angenommen, das ein nachfolgendes Folgeglied x(n+1) immer größer ist als sein Vorgänger x(n). Warum schreibt man jetzt hier für "ein" n>=0.
Eigentlich schaue ich mir doch hier alle Glieder der Folge an? Und diese Induktionsannahme soll für jedes n gelten.