Folgeglied Mathematik (1/2 ; 1/3 ;1/4; 1/5 ;..?

Ich komme leider nicht auf die rekursive Folge dieses Folgenglieds nur auf die explizite:( Könnte mir jemand helfen ? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

[Schachpapa]

Wenn ich mich nicht verrechnet habe:

$a\left(n+1\right)=a\left(n\right)-\frac{1}{\frac{1}{a\left(n\right)}\cdot\left(\frac{1}{a\left(n\right)}+1\right)}$

Und das müsste dann sein:

$a\left(n+1\right)=a\left(n\right)-\frac{a\left(n\right)}{\frac{1}{a\left(n\right)}+1}$

oder einfach

$a\left(n+1\right)=\frac{a\left(n\right)}{a\left(n\right)+1}$

Keine Ahnung, warum ich das so kompliziert angefangen habe. Zeit für's Bett

Comments

[TheOrzoBiased]

Den Ansatz hatte ich auch. Ganz kurz wie du darauf kommen kannst:

Du schaust dir an, wie sich deine Folge ändert. Also schaut man sich die Differenz zweier Folgenglieder an. 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6 was zufällig 1/2 * 1/3 entspricht. Wenn man sich die Rechnung anschaut, fällt auf, dass dieser Zusammenhang kein Zufall ist und bei allen Folgengliedern besteht. Also a_{n-1} - a_n = a_{n-1} * a_n. Somit gilt auch a_{n+1} = a_n - a_n * a_{n+1}

Jetzt suchst du dir einen Weg diese Differenz "vorherzusagen" und damit das nächste Glied zu berechnen. Das ist recht einfach, da du weißt, dass der Zähler der nächsten Zahl einfach eins größer ist. Daher kannst du einfach eine 1 zu dem Kehrbruch addieren und wiederum davon den Kehrbruch bilden. Dazu multiplizierst du dann einfach noch die vorhergegangene Zahl, um die im vorherigen Absatz erläuterte Differenz zu erlangen. Somit kommst du auf etwa das wie in der oben genannten Formel angegebene (ob das erste 1/a(n) auf den Bruchstrich gehört, lässt sich streiten). Diese Differenz ziehst du von der vorhergehenden Zahl ab und du hast a_{n+1} berechnet. Etwas umständlich, aber es ist rekursiv.

[Schachpapa]

@TheOrzoBiased

Ziemlich umständlich, ja.

Aber nach ein paar Edits am Ende doch einfach

Answer 2

[AusMeinemAlltag]

Ich habe entschieden n_1 auf n_1 = 1 / 2 festzulegen.

n_(i+1)=n_i * (i + 1) / (i + 2)

Answer 3

[Geograph]

a_n+1 = a_n• n/(n+1)

für n ≥ 0 und a₀ = 1