Grenzwert bestimmen, n ausklammern?

Wenn oben und unten ein n ausgeklammert wird dann müsste doch oben im Zähler in der Wurzel 2n + 1/n stehen. So wie es hier steht ginge es doch höchstens wenn n^2 ausgeklammert wird. Ist der Lösungsweg falsch oder übersehe ich was?

Answer 1

[Jangler13]

Die Wurzel von n^2 ist n. (Wenn n >=0)

Es wurde also in der Wurzel n^2 ausgeklammert, weswegen dann im Zähler n ausgeklammert wurde.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[Xyanxx]

verwirrend! Also muss ich in der Wurzel das n^2 entfernen (und auch die 1 durch n^2 dividieren, aber außerhalb der Wurzel nur mit n ausklammern anstatt mit n^2 ?

[Florabest]

@Xyanxx

Was du schreibst ist verwirrend. Du mußt nichts in der Wurzel entfernen. Und "außerhalb der Wurzel nur mit n ausklammern anstatt mit n^2" ist Unsinn.

Das Ziel ist doch, das n im Zähler gegen das n im Nenner zu kürzen. Somit mußt du ein n VOR die Wurzel bringen. Das geht nur, wenn du ein n² aus dem Wurzelterm auklammerst und davon dann die Wurzel ziehst.

[Jangler13]

@Xyanxx

Du hast zuerst:

Wurzel(2n^2+1)

Dann

Wurzel(n^2*(2+1/n^2)

Dann

Wurzel(n^2)*Wurzel(2+1/n^2)

Dann

n*Wurzel(2+1/n^2)

Und du hast somit das, was im Bild steht.

Verwirrend ist da nichts, das sind Umformungsregekn, die man alle schon aus der Schule kennt.

[Xyanxx]

@Jangler13

thx habs verstanden!

Answer 2

[mihisu]

Du hast anscheinend die Quadratwurzel übersehen. Wenn man von n² die Quadratwurzel zieht, erhält man n. Unter der Wurzel wird n² ausgeklammert, was dann nach Auflösen der Wurzel im Zähler des Bruches aber nur ein n ergibt.

Hier mal mit ein paar weiteren möglichen Zwischenschritten...

$a_n=\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$

$=\frac{\sqrt{2n^2+n^2\cdot\frac{1}{n^2}}}{n+1}$

$=\frac{\sqrt{n^2\cdot\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}}{n+1}$

$=\frac{\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{n+1}$

$=\frac{n\cdot\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}{n+1}$

$[\dots]$

=============

Bedenke, dass im Allgemeinen (für nicht-negative Zahlen a, b) NICHT

$\sqrt{a\cdot b}=a\cdot \sqrt{b}$

gilt, sondern stattdessen

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$

gilt. Und da liegt im Grunde dein Fehler.

Answer 3

[Florabest]

Du kannst oben ein n ausklammern, dann steht es aber immer noch unter der Wurzel. Damit hast du nichts gewonnen.

Wenn du ein n vor die Wurzel ziehen willst, damit du es mit dem n im Nenner kürzen kannst, dann mußt du schon n² ausklammern und davon dann die Wurzel ziehen wie es im Lösungsweg steht.