Extremwertaufgabe mit 2 Nebenbedingungen?
Hallo,
ich habe hier eine Extremwertaufgabe die ich nicht gelöst bekomme. Mir fehlt die 2. Bedingung um eine weitere Variable zu eliminieren.
Eine Streichholtzschachtel hat die Länge l, die Höhe h und die Breite b. Die Länge l und das Volumen V sind bekannt. O soll minimiert werden. Wie lang sind b und h?
Hauptbedingung: O (l,b,h) = 2(lh+lb+bh) 1. Nebenbedingung: V (l,b,h) = lbh umgestellt zu -> b (V,l,h) = V/lh
Und nun? Wenn ich die 1. Bedingung einsetze kann ich das h nicht eliminieren.
Danke im voraus, MfG
4 Antworten
1. Schritt: Zuerst eine zeichnung machen
1. Oberfläche O=2*b*l+2*l*h+2*b*h dies ist die "Hauptbedingung"
2. V=b*l*h ergibt h=V/(b*l) in 1. eingesetzt
O(b)=2*b*l+2*l*V/(l*b)+2*V/l abgeleitet
O´(b)=0=2*l-2*V/b^2 multipliziert mit b^2
O´(b)=0=2*l*b^2-2*V ergibt b=Wurzel(2*V/2*l)=Wurzel(V/l)
O´´(b)=0=4*l*b>0 also ein "Minimum"
Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´´(x)<0
" "Minimum" f´(x)=0 und f´´(x)>0
b ist die Unabhängige variable setzen wir mal b=x
O(x)=a*x+c*1/x+k hier sind a,c und k Konstanten,wegen der Übersichtlichkeit
abgeleitet O´(x)=0=a - c*1/x^2
(a*x)´= a und c*(1/x)´= c *-1*1/x^2
sieh Mathe-Formelbuch "Diffarentationsregeln", "Quotientenregel"
(1/v)´= -1*v´/v^2
hier v=x^1 ergibt v´= 1 und v^2=x*x=x^2
also (c*1/x)´= -1*c* 1/x^2
Hallo,
V und l sind bekannt.
V=l*h*b
h=V/(l*b)
O=hl+hb+bl
Einsetzen von V/(l*b) für h:
O=Vl/(lb)+bV/(lb)+lb
Kürzen:
O=V/b+V/l+lb=f(b)
Um den Extremwert zu ermitteln, bildest Du f'(b) und setzt es auf Null:
f'(b)=l-V/b²=0
l=V/b²
b²=V/l
b ist daraus die Wurzel, also Wurzel aus (V/l)
Da die Wurzel aus V/l positiv ist und die zweite Ableitung
f''(b)=2V/b³ lautet, handelt es sich um ein Minimum, denn 2v/b³ ist positiv, wenn für b eine positive Zahl eingesetzt wird.
Herzliche Grüße,
Willy
Ist O=2hl+2hb+2bl ?
Denn ist es ja ein Quader also ist jede Seite gespiegelt.
Ich hatte einen Fehler gemacht:
O=2(hl+hb+bl); die Oberfläche besteht schließlich aus drei Paaren jeweils gleicher Flächen.
Entsprechend mußt Du weiterrechnen.
Sollte auch l unbekannt sein, mußt Du mit dem Lagrange-Multiplikator und partiellen Ableitungen rechnen.
Du führst eine Hilfsvariable Lambda ein und stellst ein Gleichungssystem auf, mit dessen Hilfe sich eine weitere Variable eliminieren läßt.
Nachdem h durch V, b und l ausgedrückt wurde, erhältst Du die Funktion f(b,l) und addierst dazu eine Funktion Phi, die der Nebenbedingung entspricht, und die mit Lambda multipliziert wird.
Dabei gilt: Phi(b,l)=0
Herzliche Grüße,
Willy
Ich verstehe die Frage nicht.
die Oberfläche O ist eine Funktion von b, h und l
l ist bekannt
b ist ebenfalls bekannt ( da du V kennst) => b = V / ( l * h)
Es bleibt also übrig
O = 2 * ( l * h + l * V / (l * h) + V / (l * h) * h) )
Wenn du hier die bekannten Werte für V und L einsetzt ist nurmehr die Variable h übrig.
eine Funktion einer Variable...
Die Werte für V und L sind nicht bekannt. Reine Variablen.
In deiner eigenen Frage steht:
"Die Länge l und das Volumen V sind bekannt."
das verleitete mich zur Annahme die seinen bekannt.
Alternativ wird damit wohl gemeint sein: gehen sie davon aus, dieser Größen wären bekannt.
Es handelt sich also um Konstanten, diese beeinflussen die Ableitung nicht.
Hallo,
ich bin's noch mal.
Wenn die einzige bekannte Größe V ist, kannst Du die Aufgabe trotzdem berechnen.
Seien x,y und z Länge, Breite und Höhe der Schachtel.
Dann ist die Nebenbedingung:
xyz=V
Die Funktion der Oberfläche ist
f(x,y,z)=2xy+2xz+2yz
Gesucht ist das Minimum von f(x,y,z) unter der Bedingung V=xyz
Du führst die Hilfsvariable Lambda (λ) ein und machst aus der Nebenbedingung die implizite Funktion Φ(x,y,z):
V-xyz=0
Φ(x,y,z) wird mit Lambda multipliziert und zu f(x,y,z) addiert:
f(x,y,z,λ)=2xy+2xz+2yz+λ*(V-xyz)
Nun leitest Du partiell ab und bildest vier Gleichungen aus den Ableitungen, die auf Null gesetzt werden:
∂x/x=2y+2z-λyz=0 (I)
∂y/y=2x+2z-λxz=0 (II)
∂z/z=2x+2y-λxy=0 (III)
∂λ/λ=Φ(x,y,z)=V-xyz=0 (IV)
Gleichung I löst Du nach z auf:
2y+z*(2-λy)=0
z=-2y/(2-λy)
Gleichung III löst Du nach x auf:
2y+x*(2-λy)=0
x=-2y/(2-λy)
Daraus ergibt sich, daß x=z
Einsetzen von x für z in Gleichung IV:
V=x²y
y=V/x²
Einsetzen von x für z in Gleichung II:
2x+2x-λx²=0
4x-λx²=0
x*(4-λx)=0
Da x nicht Null werden darf, muß die Klammer Null werden:
λx=4
λ=4/x
Einsetzen von x für z, V/x² für y und 4/x für λ in Gleichung I:
2V/x²+2x-(4/x)*Vx/x²=0
2V/x²+2x-4V/x²=0
2x=2V/x²
x=V/x²
Da V/x²=y, ist x=y=z
Somit wird die Oberfläche minimal, wenn x=y=z und x=³√V
Herzliche Grüße,
Willy
Danke für die Erklärung. Aber wie kommst du von O auf O' ? Ich kriege da was anderes raus. Mit Summenregel und Quotientenregel abgeleitet.