Mathe Extremwertaufgaben Oberstufe?
Hallo, und zwar habe ich eine Extremwertaufgabe und komme nicht weiter. Ich habe einen 100m langen Zaun gegeben und ein Haus mit 5x10 m Größe. Ich soll den größtmöglichen Flächeninhalt (rechteckig) rausfinden und kann z.B. den Zaun UM das Haus bauen, also z.B. die Länge des Hauses mit benutzten. Ich muss eine Haupt- und eine Nebenbedingung aufstellen aber komme echt nicht weiter. Also eine Bedingung muss ja - A=a mal b - sein, wegen des Flächeninhaltes. Wie mache ich das mit der Nebenbedingung? Kann mir jemand helfen?
ps: Ich darf das Haus so platzieren wie ich will
6 Antworten
Du hast einhundert Meter Draht und darfst eine Seite des Hauses mitbenutzen. Damit hast Du also insgesamt 110 Meter Zaunseiten.
Eine Gleichung lautet, wie Du schon ganz richtig feststellst: A = a * b.
Die zweite Gleichung lautet a + b = 55. (Beim Rechteck sind ja a und c, sowie b und d gleich. Somit bilden a und b die halbe Summe. Hier hast Du 110 m, davon die Hälfte: 55.) Nun möchtest Du eine Funktion der Fläche A in Abhängigkeit von einer Seite aufstellen. Das könnte sein:
A = a * (55-a).
(55-a = b). Daraus brauchst Du nur noch die Ableitung bilden. Und die Nullstelle der Ableitung ist der Optimalwert.
Hoffe, Dir damit geholfen zu haben.
Die Nebenbedingung ist folgende: 2(a + b) = 110 (Länge des Zauns inklusive der Hauswand)
Die Hauptbedingung ist: A(a, b) = a * b (Flächeninhalt der Zaunfläche)
A soll maximal werden.
Dazu stellst du die Nebenbedingung nach einer Variable um:
2(a + b) = 110 ⇔ a = 55 - b
Jetzt kannst du die Hauptbedingung in Abhängigkeit einer Variable aufstellen, indem du die Nebenbedingung einsetzt:
A(b) = (55 - b) * b
Und das multiplizierst du nun aus:
A(b) = 55b - b² = -b² + 55b
Da du offenbar in der Oberstufe bist, nehme ich an, dass du weißt, was Ableiten ist (ansonsten müsstest du quadratisch ergänzen und den Scheitelpunkt ablesen).
Du leitest nun die Hauptbedingung ab, um den Extremwert zu berechnen:
A'(b) = -2b + 55
Die Ableitung setzt du nun null:
0 = -2b + 55 ⇔ b = 27,5
Jetzt setzt du b in die Nebenbedingung ein:
a = 55 - b = 55 - 25 = 30
a ist also 27,5m und b ist 30m lang.
Also: Für a = 27,5m und b = 30m wird der Flächeninhalt maximal mit 825m².
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Anne wäre es vielleicht nicht auch sinnvoll beide 10 m Seiten des Hauses zu benutzen? Dann habe ich eine sehr schmale Fläche aber 20m 'geschenkt'
Nachdem ich noch einmal nachgerechnet habe, hier der korrekte Lösungsweg (ein bisschen kürzer, die Erklärungen sind gleich mit denen unten).
2(a + b) = 115 (Umfang inklusive zweier Hauswände)
A(a, b) = ab (Flächeninhalt)
2(a + b) = 115 ⇔ b = 57,5 - a
A(a) = a(57,5 - a) = -a² + 57,5a
A'(a) = -2a + 57,5
0 = -2a + 57,5 ⇔ a = 28,75
b = 57,5 - a = 57,5 - 28,75 = 28,75
Somit ist a = b = 28,75m.
Das ergibt einen maximalen Flächeninhalt von 826,5625m².
LG Willibergi
Danke genauso habe ich es auch gemacht aber ich habe eine Frage. Was wenn ich den Zaun so um das Haus baue, dass drei Wände mit eingebunden sind. Also einmal die 5m Wand und zweimal die 10m Wand. Ich habe dann eine sehr schmale Fläche aber 25 m 'geschenkt'.. oder nicht? Gesucht ist ja der größtmögliche Flächeninhalt
Ich habe mal wieder meine wirklich exzellenten Zeichenkünste ausgepackt und dir den Sachverhalt mal aufgemalt:
http://fs5.directupload.net/images/161009/fv3l9hmq.png
Rot ist der gesuchte Flächeninhalt.
Du siehst, dass du, wenn du drei Seiten einbeziehen möchtest, nur eine Seite einbeziehst, da der Flächeninhalt des Hauses in dem Fall nicht hinzugezählt wird.
Du kannst also maximal zwei Hauswände mit einbeziehen. :)
LG Willibergi
die nebenbedingung ist Z=2a + 2b und dafür halt der punkt 100
Du musst ja noch ausnutzen, dass Dri (nur) 100 m Zaun zur Verfügung stehen.
Da ist es natürlich am geschicktesten, wenn Du die 10 m lange Front des Hauses als Begrenzung nutzt - dort musst Du keinen Zaun aufstellen. Dann bleiben Dir als Umgrenzung der Fläche: 2a + b + (b-10). Ds muss 100 m ergeben. (Mach Dir eine Skizze dazu!)
Klar soweit?
Wäre es nicht sinnvoller das Haus an die 'Ecke' der Rechteckigen Fläche zu platzieren, dann benutzte ich einmal die 5m und einmal die 10m Hauswand und darum dann den Zaun? War das verständlich?
Tja, schwierige Frage.
Denn dann steht das Haus ja auch auf der eingezäunten Fläche und verkleinert diese.
Ich sehe im Moment keine andere Möglichkeit, als beide Varianten durchzurechnen. Mach ich mal eben...
So, ich habe fertig :-)
Variante 1: Ich nutze nur die längere Seite des Hauses aus. Das Haus steht also außerhalb der eingezäunten Fläche.
Dann habe ich die Hauptbedingung: A = a·b sowie die Nebenbedingung 2a+2b = 110. Ergibt a = b = 27,5 m mit maximaler Fläche 756,25 m².
Variante 2: Das Haus steht in einer Ecke der eingezäunten Fläche.
HB: A = a·b - 50 (denn nun muss die Hausfläche abgezogen werden).
NB: 2a + 2b = 115
Ergebnis: a = b = 28,75 m; A = 776,5625 m²
Also ist diese Variante besser.
Variante 3 (das Haus steht irgendwo innerhalb der eingezäunten Fläche) scheidet wohl von vornherein aus.
Und warum ist bei mir die Fläche kleiner als bei Willibergi? Weil ich die Hausfläche abgezogen habe, denn diese Fläche ist ja nicht für die Kühe, Schweine, Schafe... nutzbar.
Hallo Willibergi,
Wenn ich U= 2(a+b) rechne, dann komme ich auf 115 m.
Das geht auch, aber nur, wenn du das Haus quasi in die Ecke stellst und 2 Wände des Hauses in den Umfang mit einbeziehst.
Ansonsten würden 5 m fehlen.
- du bist aber von der Einbeziehung einer Wand als Nebenbedingung ausgegangen.
Irgendwo bist du mitten im Rechenweg "umgeschwenkt"
Gruß Anne