Exponentielle Schädlingsvermehrung (Mathe)?
Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
Ein Feld ist von Schädlingen befallen. Zu Beginn der Beobachtung zählt man 50 Schädlinge auf einem Quadratmeter Bodenfläche, wobei insgesamt eine Fläche von 200 qm befallen ist. Aus Versuchen ist bekannt, dass 100 Schädlinge an einem Tag 120 g Blattmasse fressen. Es kann angenommen werden, dass sich die Schädlinge exponentiell vermehren und sich ihre Zahl innerhalb von 5 Tagen verdoppelt.
Die Funktion, die dieses Wachstum beschreiben soll lautete folgendermaßen:
f: t --> 10000e^(0,2*ln2*t) // t in Tagen
Leider verstehe ich nicht so ganz, wie man auf diese Funktion kommt.
Folgendes kann ich mir erklären: 10000, weil 50 Schädlinge/qm * 200 qm
Bei dem Exponenten, bin ich aber leider total überfragt.
Danke für eure Hilfe!
1 Antwort
Hallo,
die Grundformel lautet f(t)=a*e^(k*t).
Wir wissen, daß zum Zeitpunkt t=0 10000 Schädlinge vorhanden waren.
Zum Zeitpunkt t=5 haben sie sich verdoppelt. Es gab jetzt also 20000 Schädlinge.
Für t=0 lautet die Gleichung a*e^(k*0)=10000.
Da e^(k*0)=e^0=1, gilt a=10000.
Für t=5 und a=10000 lautet die Gleichung:
10000*e^(5k)=20000.
e^(5k)=2
5k=ln (2)
k=(1/5)*ln (2).
Nun ist auch k bekannt und die Funktionsgleichung lautet:
f(t)=10000*e^(ln (2)*t/5), wobei t für die Anzahl der Tage seit dem Zeitpunkt 0 steht, also nach dem Zeitpunkt, an dem noch 10000 Schädlinge vorhanden waren.
Herzliche Grüße,
Willy