Eine Matrix ist genau dann Invertierbar, wenn..?

1.Determinante der Matrix ungleich 0 2. wenn die Matrix einen vollen rang hat.

kann es aber sein, dass determinante gleich null ist aber dafür die matrix einen vollen rang hat? Oder andersrum?

danke:)

Answer 1

[poseidon42]

Wir betrachten quadratische Matrizen A aus IR^(n x n).

Nun ein paar Definitionen:

1.)  rang( A ) = # linear unabh. Spaltenvektoren/Zeilenvektoren = dim( Bild(A) )

2.)  ker( A ) = { x aus IR^n |  Ax = 0 } 

3.) dim( ker(A) ) = # linear abh. Spaltenvektoren/Zeilenvektoren

Es gilt die fundamentale Gleichung:

n = rang(A) + dim( ker(A) )

Besitzt nun eine Matrix A aus IR^(n x n) vollen Rang, so bedeutet dies:

rang( A ) = n  ---> dim( ker(A) ) = 0

Dies hat zur Folge, dass die Abbildung beschrieben durch A bijektiv ist und somit umkehrbar. Es gilt:

Quadratisch + Voller Rang  <==> Invertierbarkeit


Zu guter letzt noch die Cramersche Regel. Diese liefert folgende Aussage:

Quadratisch +  det(A) = 0  <==>  Invertierbarkeit


Somit gilt:

Quadratisch + Voller Rang <==> Quadratisch + det(A) = 0  <==> Invertierbar

 

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Answer 2

[BatesFan]

Nein, das kann nicht sein, weil die beiden Kriterien die Invertierbarkeit charakterisieren ("genau dann"):

det(A) nicht 0  <=>  A invertierbar  <=>  A vollen Rang

Comments

[Isakoch]

Achso okay, genau das wollte ich wissen also heißt es wenn es vollen rang hat ist automatisch det ungleich 0 und andersrum.

danke!:)