Frage zum Lösungsraum?
Hi, eigentlich bin ich mir sicher, nur ich Frage trotzdem:
Sei M_1 eine 3*3 Matrix, (x,y,z) irgendein Vektor
Sei nun die Determinante M_1 = 0
Sagen wir rank(M_1) = 2 bzw. der Defekt ist 1
Vier Minifragen:
Das heißt jetzt soviel dass der Lösungsraum eine Ebene ist?
Betrachten wir die Sache hier mal als Gleichungssystem, nehmen wir an, rechts stehe irgendein Lösungsvektor. Sobald die Determinante M_1 nun 0 ist, gibt es keine eindeutige Lösung mehr? Denn es gibt keine Inverse Matrix mehr, die ich anwenden kann? Es kann aber auch gut unendlich viele Lösungen geben - sofern der Rang 1 oder 2 vorliegt?
Es kann aber immer noch exakt eine Lösung existieren, nämlich dann, wenn alles auf einen Punkt komprimiert wird, der Rang also 0 ist?
1 Antwort
Wenn der Rang = 0 ist gibt es entweder unendlich viele Lösungen (wenn die rechte Seite der Nullvektor ist) oder jeine, wenn die rechte Seite ungleich 0 ist. Denn nur die Nullmatrix hat den Rang 0.
Nein, wenn der Rang = 0 ist kann es keine eindeutige Lösung geben, genau das habe ich geschrieben.
Was ist wenn der Rang 1 oder 2 ist, dann gibt es auch keine eindeutige, einzige Lösung?
Nein, das ist nicht möglich. Denn wenn eine rechte Seite im Bildraum der linearen Abbildung liegt, so ist mit x auch jeder Vektor x + k mit k € K Lösung. K ist dabei der Kern der linearen Abbildung, also die Menge an Vektoren die das homogene System löst. Und da K nicht leer ist (dim K = n - Rg A) kann es keine eindeutige Lösung geben.
Ok, die LA ist eine ganz schöne Begriffsschlacht xD
Gut, danke. Dann werde ich mal weiter machen :)
Da gehe ich mit, wenn die rechte Seite ungleich 0 ist und meine Transformation hier, auf einen Punkt, Dimension 0 zusammenfällt, dann kann ich als x y z reinschreiben was ich will, 0 bleibt 0. 0 ist ungleich etwas nicht 0, ok.
Und beim schreiben überlegt man auch gleich:
Klar, die Transformation, die auf einen Punkt zusammenfällt multipliziert mit irgendeinem Vektor x y z ergibt immer 0 0 0
Sind die restlichen Annahmen in der Frage als richtig zu werten? :D