Ebenenschar schnittwinkel?

Wie geht diese Aufgabe?

Answer 1

[mihisu]

Der Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen. Ich würde dementsprechend einfach die Normalenvektoren aus der Ebenengleichung ablesen und den Winkel zwischen den entsprechenden Normalenvektoren betrachten.

Zur durch

$E_a :\ a\,x_1+\left(1-2a\right)\, x_2+\sqrt{3}\,x_3=1$

gegebenen Ebene kann man den entsprechenden Normalenvektor

$\vec{n}_a=\begin{pmatrix} a \\ 1-2a \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

ablesen.

Bei der x₂x₃-Ebene verläuft der Normalenvektor parallel zur x₁-Richtung und man kann beispielsweise einfach

$\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

als entsprechenden Normalenvektor verwenden.

Den Winkel φ zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen erhält man dann mittels...

$\cos(\varphi)=\frac{\vec{n}_{a}\bullet \vec{e}_1}{\left\lvert\vec{n}_{a}\right\rvert\cdot \left\lvert\vec{e}_{1}\right\rvert}$

Setze dort nun die Vektoren und den Winkel φ = 60° ein, um eine Gleichung bzgl. der Unbekannten a zu erhalten. Löse diese Gleichung, um den gesuchten Wert für a zu erhalten.

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Aber Achtung: Genau genommen musst du beachten, dass es eigentlich zwei Schnittwinkel zwischen den Ebenen gibt, einen spitzen Winkel (hier dann 60°) und einen stumpfen Winkel (hier dann 120°). Das liegt auch daran, dass man bei der x₂x₃-Ebene statt dem Vektor (1, 0, 0) auch den entsprechenden Gegenvektor (-1, 0, 0) verwenden könnte. Je nachdem welchen Vektor man verwendet, erhält man den spitzen oder den stumpfen Winkel. Dementsprechend gibt es evtl. noch weitere Lösungen, durch Betrachtung der Gleichung...

$\cos(\varphi)=-\frac{\vec{n}_{a}\bullet \vec{e}_1}{\left\lvert\vec{n}_{a}\right\rvert\cdot \left\lvert\vec{e}_{1}\right\rvert}$

Bzw. könnte man auch ausnutzen, dass

$\cos(\varphi)=\frac{\left\lvert\vec{n}_{a}\bullet \vec{e}_1\right\rvert}{\left\lvert\vec{n}_{a}\right\rvert\cdot \left\lvert\vec{e}_{1}\right\rvert} \quad \text{den spitzen Winkel }\varphi$

und

$\cos(\varphi)=\frac{-\left\lvert\vec{n}_{a}\bullet \vec{e}_1\right\rvert}{\left\lvert\vec{n}_{a}\right\rvert\cdot \left\lvert\vec{e}_{1}\right\rvert} \quad \text{den stumpfen Winkel }\varphi$

liefert, sodass du insgesamt auch nur die Gleichung

$\cos(\varphi)=\frac{\left\lvert\vec{n}_{a}\bullet \vec{e}_1\right\rvert}{\left\lvert\vec{n}_{a}\right\rvert\cdot \left\lvert\vec{e}_{1}\right\rvert} \quad \text{ für den spitzen Winkel }\varphi$

betrachten müsstest.

====== Ergänzung: Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

da cos (60°)=1/2, setzt Du einfach die Formel für den Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen gleich 1/2 und löst nach a auf.

Normalenvektor der yz-Ebene ist bekanntlich (1/0/0).

Herzliche Grüße,

Willy