Dreifache Nullstelle erkennen (Polynomfunktion)?
Hallo:) ich habe da mal eine Frage. Wie erkennt man, wann es sich um eine dreifache Nullstelle handelt? Mir ist klar, dass z.b y=(x-1)^3 eine dreifache Nullstelle hat aber z.B y=x^3+x^2+x auch anscheinende auch eine Nullstelle bei dem Punkt 0. Wie weiß man das jetzt? Das müsste doch das gleiche sein wie y=x^3. Das hat ja auch bei 0 eine dreifache Nullstelle. Wäre überaus nett wenn mir da jemand helfen könnte:)
3 Antworten
Nullstelle(n) einer Funktion sind alle Werte x für die f(x) = 0 ist.
Die Funktion f(x) = (x-1)^3 hat genau eine Nullstelle bei 1
Die Funktion f(x) = x^3 hat eine genau eine Nullstelle bei 0
Die Funktion f(x) = x^3+x^2+x = x*(x^2+x+1) hat mindestens eine Nullstelle bei x= 0, könnte aber noch eine weitere haben.Schaut man sich die Diskriminate an, dann sieht man das es keine mehr gibt ...
Die 'Mehrfachheit' ergibt sich aus der Betrachtung der Ableitung.
f(x) = x^3 , f'(x) = 3* x^2 und f''(x) = 3*2*x und f'''(x) = 6
f(x), f'(x) und f''(x) haben eine Nullstelle bei x= 0. Deshalb ist x=0 eine dreifache Nullstelle.
Ähnliches gilt für f(x) = (x-1)^3
Bei f(x) =x^3 + x^2 +x ist f'(x) = 3*x^2 + 2*x +1 damit ist x 'nur' eine einfache Nullstelle weil f'(0) = 1
Zerlegst Du eine Funktion in ihre Linearfaktoren (so dass man sofort die Nullstellen erkennen kann), dann gibt der Exponent dieser Faktoren die "Vielfachheit" der Nullstellen an:
So hast Du in Deinem ersten und dritten Beispiel jeweils 3-fache Nullstellen;
die 2. kannst Du schreiben als f(x)=x(x²+x+1). Hier hast Du nur eine reelle (einfache) Nullstelle bei x=0. Die Klammer wird nicht Null.
anderes Beispiel: f(x)=x²+4x+4 (1.Binom) = (x+2)²
Hier hast Du eine zweifache Nullstelle bei x=-2
[Rechnest Du hier einfach mit der pq-Formel (ohne den Binom zu erkennen), erhältst Du: x=-2+-Wurzel(4-4)=-2+-0
Du hast hier quasi die "zwei" Nullstellen x1=-2+0=-2 und x2=-2-0=-2]
Wenn z. B. die Einheiten der x-Achse in 1er-Schritten eingeteilt sind und die Einheiten der y-Achse nicht in 1er-Schritten, sondern z. B. in 10er-Schritten, dann sieht die Kurve flacher aus und man könnte meinen, es liegt ein Sattelpunkt vor. Tatsächlich liegt aber nur ein "normaler" Wendepunkt bei x=-1/3 vor...
Am schnellsten kannst Du ermitteln ob eine mehrfache Nullstelle vorliegt
(wenn die Funktion in Normalform vorliegt), wenn Du die Funktion
ableitest und dort die Nullstelle einsetzt, also in diesem Beispiel
f'(0) ausrechnest. Kommt dann wieder Null raus, dann ist die Nullstelle
x=0 mindestens zweifach; dann solange weiter ableiten bis bei Einsetzen
von x=0 ein Wert ungleich Null raus kommt (wie es AnReRa schon schön
beschrieben hat).
Aber im Buch wurde die Funktion f(x)=x^3+x^2+x graphisch dargestellt und sie hat einen Sattelpunkt bzw. So sah wie die Kurve aus, die eine Funktion mit einer dreifachen Nullstelle hat, aus.
Wenn der Graph so aussieht wie f(x)=x³, dann könnte es auch an der Einteilung der Einheiten liegen.
Was meinst du damit genau?:0