Differenzialrechnung (Ableitung, absolute Extrema bestimmen)?
Hallo Zusammen,
Ich möchte euch rasch Fragen, weshalb bei untenstehender Aufgabe die absoluten Maximum/Minimum rein mit der ersten Ableitung bestimmt werden kennen?
Meinem bescheidenen Wissen nach, müssen Extremas mit der zweiten Ableitung geprüft werden, um zu sagen ob es sich um das max.- oder min.-Extrema handelt.
Würde man nun zum Beispiel die zweite Ableitung f''(x) = -6t +4 nehmen wäre ja z.b. f''(1.55) < 0 und somit ein Max was ja ebenfalls unten steht. Aber nimmt man nun f''(4), dann erhält man ebenfalls <0, wodurch es sich hier um das absolute maximum handeln müsste?
Ich danke euch vorab für eine Rückmeldung
2 Antworten
Die Prüfung mit der zweiten Ableitung ist ein "hinreichendes Kriterium". Man kann aber auch mit dem Vorzeichenwechsel an der Nullstelle der 1. Ableitung an der Nullstelle bestimmen, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
Minimum: Vor der Nullstelle der 1. Ableitung ist die Steigung negativ, danach positiv (Krümmung gegen den Uhrzeigersinn)
Maximum: genau umgekehrt (Krümmung im Uhrzeigersinn)
(Mal sich an einer nach oben und einer nach unten geöffneten Parabel klarmachen)
Anmerkung: Mir persönlich fehlen da aber an den f(...) unter "Vergleich" die Striche (i.e. f'(-1) etc.) - und es werden nur Funktionswerte angeschaut. Das halte ich für seltsam und da muss schon viel Wissen über die Funktion einfliessen)
Ja, habe ich dann auch gemerkt. Das kann aber schwer schiefgehen, wenn die Funktion nur entsprechend "kurios" ist
Ich sag’ mal so: Wenn es stimmt, dass man Dinge am einfachen Beispiel lernt, macht es für mich keinen Sinn diese berühmten Abkürzungen zu nehmen und mit einer Art a-priori Wissen des Lehrenden über die gerade behandelte Funktion zu argumentieren. Das kann man machen, wenn man die Dinge beherrscht. Didaktisch ist das wenig hilfreich, erstmal grundsätzliches Basiswissen zu vermitteln.
Vermutung:
Zunächst wird sicher gestellt, dass die Tangenten jeweis waagerecht verlaufen. Aus deren Funktionswerten (und Werten "drum herum") wird auf die Art der Extrema geschlossen: Skizze machen!
Ich vermute, dass hier nur mit Funktionswerten argumentiert wird und nicht mit dem Vorzeichenwechselkriterium von f'