Extrema von Kurvenschar: x*ln (x^2/a)?

Sek.II Leistungskurs Mathe.

erste Ableitung: ln(x^2/a)+2

zweite Ableitung: 2/x

Der nächste Schritt ist mir zwar bekannt, jedoch erhalte ich stets falsche Ergebnisse.

Hoffe um Unterstützung.

Answer 1

[jeanyfan]

Hier mal als Beispiel für a=3 die Funktion und deren Ableitung,
die Extremstellen liegen dann bei $\pm\frac{\sqrt{3}}{e}\approx\pm0,64$

Answer 2

[jeanyfan]

Standardverfahren, also erste Ableitung nullsetzen:
$\ln\left(\frac{x^2}{a}\right)+2=0\ \mid-2$ $\ln\left(\frac{x^2}{a}\right)=-2\ \mid e^{...}$ $\frac{x^2}{a}=e^{-2}\ \mid\cdot a$ $x^2=\frac{a}{e^2}\ \mid\sqrt{...}$ $x=\pm\frac{\sqrt{a}}{e}$

Das zur Probe in die zweite Ableitung einsetzen: $\frac{2}{\pm\frac{\sqrt{a}}{e}}=\pm\frac{2e}{\sqrt{a}}$

Das ist auf jeden Fall bei beidem ungleich 0, also jeweils ein Extrempunkt.

Answer 3

[TheElveLegolas]

Ich weiß nicht so recht, wie du auf deine Ableitungen kommst. Die erscheinen mir als falsch. Man muss hier nämlich die Produktregel anwenden:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Daher habe ich als erste Ableitung folgendes:

f'(x) = x/a + x*ln(x^2/a)

Und als zweite Ableitung folgendes:

f''(x) = 1/a + (x/a + x*ln(x^2/a))

Wie man damit weiterrechnet weißt du ja ;)

Comments

[jeanyfan]

Man muss das schon mit Produktregel ableiten und dann eben zusätzlich den Logarithmus noch mit der Kettenregel ableiten. Allerdings verstehe ich nicht, wie du auf deine Ableitungen kommst. Die in der Aufgabe stimmen nämlich, deine nicht.

[TheElveLegolas]

@jeanyfan

Tut mir Leid, ich habe nicht mehr gewusst wie man den natürlichen Logarithmus anwendet. Habe nochmal nachgerechnet, komme auf dieselben Ergebnisse, wie du.

[jeanyfan]

@TheElveLegolas

Ist nicht schlimm, wollte nur den Fragesteller nicht noch mehr verwirren.

Answer 4

[fjf100]

0=-2+2 also -2=ln(x²/a)

e^(-2)=x²/a

a=x²/e^(-2)=x²*e² siehe Potenzgesetze a^n=1/a^(-1*n) oder a^(-n)=1/a^n

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert