Die hinreichende Bedingung, warum?
Hallo:)
wir machen im Moment Analysis also Bestimmung der Extrempunkte und das Vorgehen verstehe ich schon, aber ich frage mich, wozu man die hinreichende Bedingung nun benötigt?
Also bei der ersten Ableitung untersucht man doch, an welchen Stellen man eine Nullstelle, also eine waagerechte Tangente, hat (und an den Stellen muss dann ja bei f eine Extremstelle vorliegen).
Aber warum darf bei der zweiten Aböeitung diese Stelle nicht gleich 0 sein? Wahrscheinlich ist die Frage eh ur blöd, aber ich steh grad völlig auf dem Schlauch. Danke schonmal:)
3 Antworten
Dass die erste Ableitung 0 ist, ist nur notwendig. Das bedeutet in dem Zusammenhang, dass es keinen Extrempunkt gibt, bei dem die Ableitung existiert und diese ungleich 0 ist.
Aber nur wenn die zweite Ableitung zugleich ungleich 0 ist, kann man definitiv sagen, dass es ein Extrempunkt ist.
Klassisches Beispiel für eine Funktion, bei der die erste Ableitung 0 ist, jedoch kein Extrempunkt vorliegt, ist die Funktion f(x) = x³ an der Stelle x=0.
Das mit der zweiten Ableitung stimmt auch nur zum Teil.
Wenn die Tangente waagerecht ist kann es sich um einen Extremwert oder einen Sattelpunkt handeln, ein Sattelpunkt ist aber kein Extremwert.
Um zu zeigen, dass die waagerechte Tangente zu einem Extremwert und nicht zu einem Sattelpunkt gehört, muss man prüfen ob die erste höhere Ableitung welche ungleich 0 ist einen ungerade Grad hat oder nicht.
Beispiele:
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
Die Funktion hat offensichtlich bei x = 0 eine waagerechte Tangente. die erste höhere Ableitung ungleich 0 hat den Grad 3 und ist somit ungerade damit ist es ein Sattelpunkt und kein Extremwert:
f(x) = x^4
Geht genau so wie oben, allerdings ist f'''(0) = 0 und erst die vierte Ableitung ist ungleich 0. Damit liegt an dieser Stelle ein Extremwert vor, obwohl die zweite Ableitung 0 ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt
Wichtig dabei ist es handelt sich hierbei allerdings nur um eine hinreichende und keine Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt.
Ein Sattelpunkt kann auch auftreten wenn alle höheren Ableitung gleich 0 sind und in so fern kann man für den Fall dass alle höheren Ableitungen 0 sind keine Aussage treffen.
(Standard-)Beispiele für Funktionen, wo es aus den Ableitungen nicht klar wird:
f(x) = e^(-1/x^2) ....... ; falls x ≠ 0
...... = 0 ..................... ; falls x = 0
g(x) = x e^(-1/x^2) ... ; falls x ≠ 0
....... = 0 .................... ; falls x = 0
Beide Funktionen sind an der Stelle x=0 beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen haben dort den Wert 0.
f(x) hat bei x=0 ein Minimum (sogar das globale Minimum) und g(x) hat bei x=0 einen Sattelpunkt. Hieran sieht man, dass diese Eigenschaften allein aufgrund der Ableitungen nur dann feststellbar sind, wenn eine der sukzessiven Ableitungen einen Wert ≠ 0 hat.
Damit überhaupt ein Extrempunkt existieren kann, muss die erste Ableitung Null sein. Das ist die Grundvoraussetzung. Ist sie Null, dann heißt das aber noch nicht, dass auch ein Extrempunkt vorliegt. Ist nämlich die zweite Ableitung auch Null, dann könnte es auch ein Wendepunkt sein. (f''(x)=0 ist ja die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes)
Erst, wenn die zweite Ableitung ungleich Null ist (unter der Voraussetzung, dass f'(x)=0 ist), dann liegt mit Sicherheit ein Extrempunkt vor. Ansonsten müsste man noch die weiteren Ableitungen prüfen, um Klarheit zu bekommen, ob denn nun ein Extrem- oder Wendepunkt vorliegt (in der Schule ist es aber meist so, dass man mit der dritten Ableitung Klarheit hat...).