Definitions, Bereich und Lösungsmenge der Gleichung bestimmen?
Hey, ich habe ein Problem und zwar kriege ich hier nicht den Definitions Bereich und die Lösungsmenge raus. Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll weil das irgendwie alles in einer Gleichung steht. Wie geh ich hier vor bei dem eins durch Wurzel 4X +5 könnte ich mir vorstellen, dass ich einfach nur die 4X +5=0 setzen muss und dann hab ich den Wert. Was ist mit dem linken Teil?
Welche Klassenstufe ist das eigentlich?
Studium Mathe 1
4 Antworten
weil die Nenner nicht Null werden dürfen , gilt erstmal
dass der Ausdruck unter der Wurzel nicht Null werden darf
(bei -8 und -5/4 wäre das der Fall)
zusätzlich dürfen die Wurzel nicht negativ werden
ohne Glg kann man x = -10 einsetzen und sieht , dass x>-8 sein muss
oder +1 für die rechte , was größer Null wäre . Also x>-5/4
Def daher x>-8 , weil in dem x>-5/4 enthalten ist
.
Nun wird quadriert
2-x/x+8 = 1/4x+5
überkreuz multi
(2-x)(4x+5) = 1(x+8)
multi und alles nach links
-4x² + 2x + 2 = 0
durch -4
x² - 0.5x - 0.5 = 0
ohne pq mit Vieta probieren
+1 und -0.5 oder -1 und +0.5 kommen in frage
Weil -0.5 = -(1 + -0.5) ist , sind 1 und -0.5 die möglichen Lösungen . Weil beide vom Def-Bereich nicht ausgeschlossen sind , kommen sie weiter in Frage .
bei Glg mit Wurz muss man trotzdem noch prüfen
w(1)/w(9) = 1/w(9)
stimmt
.
w(2.5)/w(7.5) = 1/w(3)
stimmt weil
w(2.5/7.5) = w(1/3) = 1/w(3)
Def daher x>-8 , weil in dem x>-5/4 enthalten ist
Das ist falsch. Z.B. für x=-6 ist 4x+5=4*(-6)+5=-21.
Daher muss x>-5/4 gelten, außerdem x<=2.
Definitionsbereich
Da man nicht durch null teilen kann, dürfen die beiden Nenner jeweils nicht null sein.
Zuerst stellen wir also fest:
Wurzel x+8 ≠ 0
und
Wurzel 4x + 5 ≠ 0
Dies müssen wir nun nach x umstellen.
Zuerst können wir beide Seiten quadrieren. Dann haben wir erstens:
x + 8 ≠ 0² also x + 8 ≠ 0 also x ≠ -8
und zweitens:
4x + 5 ≠ 0² also 4x + 5 ≠ 0 also 4x ≠ -5 also x ≠ -5/4 also x ≠ -1,25
Das bedeutet für die Definitionsmenge:
D: x € R; x ≠ -1,25; -8
(€ steht hier für das Element-der-Menge- Symbol)
Lösung der Gleichung:
Da es sich um eine Bruchgleichung handelt, ist der erste Schritt, die Brüche weg zu machen. Dafür gibt es einen "Trick", ich weiß nicht mehr wie er heißt, aber geht so:
Wenn
a/b = c/d
dann
a = (b*c)/d
Dann muss man noch mit d multiplizieren, um eine Gleichung ohne Brüche zu erhalten.
Wenden wir dies nun an:
Wurzel 2-x = [(Wurzel x+8)*1]/(Wurzel 4x +5)
Das *1 erübrigt sich:
Wurzel 2-x = (Wurzel x+8)/(Wurzel 4x +5)
So, und jetzt muss ich erstmal nachdenken, also ich schreibe bald weiter. Bis dann!
Ich bin zurück!
Wir müssen als nächstes beide Seiten quadrieren, wodurch die Wurzeln wegfallen.
2-x = x+8/4x +5
Um den Bruch wegzumachen, multiplizieren wir beide Seiten mit (4x+5).
2-x(4x+5)=x+8
Ausklammern:
8x+ 10 -4x² -5x=x+8
Für die quadratische Gleichung nutzen wie die pq-Formel (oder Mitternachts-/abc-Formel).
Für die pq-Formel müssen wir erst alles auf null machen:
-4x²-5x+8x+10-x-8=0
Vereinfachung:
-4x² +2x + 2=0
Das muss man dann in die pq-Formel einsetzen. Das spare ich dir hier mal und sage dir direkt, was rauskommt:
x1 = -1/2
x2= 1
Bis hier hin hab ich’s verstanden, wäre dir echt dankbar wenn du gleich weiter schreibst
In diesem Fall paßt die Lösung, da der Definitionsbereich von x>-5/4 bis x<=2 geht.
Da liegen -1/2 und 1 locker drin. Hätte aber auch anders sein können.
Bei Wurzelgleichungen übrigens grundsätzlich eine Probe machen, um Scheinlösungen auszuschließen.
Wenn du mir schon oben den Definitions Bereich als -5 durch vier und -8 angegeben hast was hast du denn danach noch gemacht? Ich bin irgendwie voll verwirrt. Kannst du mir noch mal genau erklären, was jetzt was ist?
der Definitionsbereich sagt einfach nur, was die lösung mathematisch betrachtet theoretisch per Definitionum sein DARF.
die lösungsmenge gibt an, was die lösung tatsächlich ist.
an einem einfachen bsp:
2/x = 1
x DARF alles sein außer null, da man sonst durch null teilen würde.
x IST aber nicht alles außer null, sondern zwei.
Problematisch wirds nur, wenn du auf eine lösung kommst, die nicht im Definitionsbereich liegt
deine Def ist falsch . Ich habe auch die wurz(2-x) im Zähler übersehen
Hallo,
2-x>=0 --> x <=2 (x kleiner gleich 2)
x+8>0 --> x > -8
4x+5>0 --> x > -1,25
--> D = {x| -1,25 < x <= 2}
https://www.desmos.com/calculator/y35aon9atp
Rot: Linke Seite der Gleichung
Blau: Rechte Seite
Schnittstellen: Lösungen der Gleichung
Gelb: Definitionsmenge der Gleichung
Wichtig: Die Lösungen liegen in der Definitionsmenge.
1) Definitionsbereich D bestimmen (Nenner ungleich Null; Wert unter der Wurzel nicht negativ (gilt auch für die Wurzel im Zähler))
2) Quadrieren, um Wurzeln zu beseitigen
3) über Kreuz multiplizieren, um Nenner zu beseitigen
4) zusammenfassen und sortieren
5) pq-Formel anwenden
6) Ergebnis prüfen wegen D und wegen des Quadrierens (Scheinlösungen ausschließen)
Beim Definitionsbereich zusätzlich darauf achten, daß unter keiner Wurzel ein negativer Ausdruck entsteht.
Die Ausdrücke unter den Wurzeln dürfen auch nicht negativ werden.
Die Lösungsmenge stimmt aber.