Definition der (totalen) Differenzierbarkeit?
Hallo,
ich habe zwei Fragen zu der folgenden Definition der Differenzierbarkeit:
Warum wird gesagt, dass die Ableitung A in dem Punkt a linear sein muss? Mir ist klar, dass das eine lineare Approximation ist, aber warum muss A linear sein? Weil dabei "A" ja nicht alleine die lin. appr. ist, sondern jedem Punkt aus dem Definitionsbereich von f einer Steigung zu ordnen, aber warum muss diese Zuordnung linear sein bzw. warum ist sie linear?
Die zweite Frage ist, warum im unteren Teil die Ableitung "df" als Abbildung von den reellen Zahlen (hoch m) zu der Menge der Homomorphismen abgebildet wird? Ich denke aber diese Frage klärt sich, bei Beantwortung der ersten Frage.
Danke im Voraus!
2 Antworten
Weil dabei "A" ja nicht alleine die lin. appr. ist, ...
Doch.
... sondern jedem Punkt aus dem Definitionsbereich von f einer Steigung zu ordnen, aber warum muss diese Zuordnung linear sein bzw. warum ist sie linear?
Diese Zuordnung muss nicht linear sein.
Beispiel im Eindimensionalen: f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2. In jeden Punkt x die lineare Approximation durch eine Tangente mit Steigung 3x^2. Aber die Ableitung selbst (die "Zuordnung") ist nicht linear.
Das ist ein bißchen verwirrend formuliert. Genauer ist f'(x)(y) =3x^2y. Daher 3x^2 ist der multiplikationsoperator mit 3x^2in dem Fall von R1 nach R1
Das A ist eindeutig bestimmt, wenn der Fehlerterm phi(v) wie gefordert gegen Null geht.
Die linearität ist die impliziert Definition von phi. Daher ohne linearität macht die Definition keinen Sinn
Man will ja die lineare bestapproximation vgl. R1
Warum nach Hom?
Weil df(a) für jeden Punkt eine Lineare Abbildung ist.
Also df: Rm >hom weil
df(a): Rm--> Rn linear
Dankeschön für die Antwort!
Aber ist nicht "f(a+v)=f(a)+Av" die linke. appr? Und f'(a)=A ist mir die Steigung, also m, dieser Tangente, so dass ja nach dieser Annahme A nicht unbedingt linear sein muss, aber kann man das einfach fordern, da ja für ein beliebiges a mit einer linearen Abbildung jeder beliebige Wert angenommen werden kann?