Was sagt mir welche Ableitung?
Aufgabe 16: Ich weiß, dass mir die Ableitung sagt wie die Steigung an einem bestimmten Punkt ist, aber was sagt es mir im Sachkontext. Bis dritte Ableitung. (Bin in der Q1)
Heißt woher weiß ich wann ich welche benutzen muss!
3 Antworten
1. Ableitung: Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle. Sagt aus, ob der Graph an einer Stelle steigt oder fällt
2. Ableitung: "Steigung der Steigung" ermöglicht Aussage über Maxima und Minima, also sagt grob etwas über die Krümmung aus
3. Ableitung: mit ihr kann man Wendepunkte bestimmen
Du hast mit f(t) eine Weg-Zeit-Funktion gegeben
Für Aufgabe a) brauchst Du eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) und diese ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion. Die Frage geht aber nach der maximalen Geschwindigkeit und daher muss Du das Maximum von v(t) suchen. Daher brauchst Du die erste Ableitung von v(t) und damit die zweite Ableitung von f(t) - was Du dann zu 0 setzt und ausrechnest.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit im zweiten Intervall ist dann das Integral der Geschwindigkeitsfunktion von 20s bis 40s geteilt durch den Zeitraum und der Zeitspanne von 20 Sek (Hinweis zur Stammfunktion: v(t) ist die Ableitung von f(t))
Und die schärfste Kurve ist vermutlich dort, wo die Geschwindkeit am geringsten ist (abgesehen von einer Startphase), also ein lokales Minimum nach dem Start.
PS: Wo hier eine dritte Ableitung benötigt werden soll, sehe ich nicht auf Anhieb.
Ja - das ist wirklich schwierig und so Manches "erlernt" man nur durch Übung und es kann viele Jahre dauern, bis man es dann auch "versteht".
Der zentrale Punkt meiner Antwort oben ist eigentlich, zu sehen, dass die Geschwindigkeitsfunktion die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion ist (und das ist relativ happig, wenn man es nicht gerade im Unterricht gehört hat). Alles andere ergibt sich selbstverständlich. Wenn man diesen Punkt verpasst, hat man am Ende auf die ganze Aufgabe keinen einzigen Punkt.
Das ist ein bisschen stures Auswendiglernen. Für jede Aufgabenstellung gibt es eine gewisse (gleiche) Vorgehensweise. Hier sind Extrempunkte gefragt. Dafür musst du erst die erste Ableitung bilden und diese gleich Null setzen. Die Werte, die dabei entstehen setzt du dann in die zweite Ableitung ein. Je nachdem was dann rauskommt hast du bei f(x) > 0 einen Tiefpunkt (Minimum) und bei f(x) < 0 einen Hochpunkt (Maximum)
Das heißt die erste Ableitung zeigt mir m/s oder? Und die zweite?
Das mit der dritten Ableitung meinte ich nur Generell. Ich frage mich das nämlich oft bei Sachaufgaben, also was mir welche Ableitung sagt.