Brüche vereinfachen - wie rechne ich weiter?

Die Aufgabe ist in der ersten Zeile, ich habe versucht zu quadrieren und dann mithilfe der Binomischen Formeln zu vereinfachen, leider komme ich nicht weiter.

Answer 1

[BorisG2011]

Es geht hier erkennbar nicht um Brüche, sondern wohl darum, die Lösungen einer Wurzelgleichung zu bestimmen. Bei Wurzelgleichungen, die nur einen Wurzelausdruck enthalten, ist das übliche Verfahren, den Wurzelausdruck auf einer Seite der Gleichung zu isolieren und sodann zu quadrieren. Bei Wurzelgleichungen, die zwei verschiedene Wurzeln enthalten, geht man ähnlich vor, muss aber zweimal umstellen und quadrieren.

Ich denke, dass du die folgende Rechnung ausführen möchtest:

$1\ +\sqrt{2\cdot x\ +\ 3}=\ \sqrt{x\ +\ 5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\ -1\right|$ $\sqrt{2\cdot x\ +\ 3}\ =\sqrt{x\ +\ 5}\ -1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\ quadrieren\right|$

Hier kommt jetzt die zweite binomische Grundformel ins Spiel, die du erkennbar noch üben musst:

$2\cdot x\ +\ 3\ =\ x\ +\ 5\ -\ 2\cdot\sqrt{x\ +\ 5}\ +\ 1$

Jetzt ist die rechts stehende Wurzel zu isolieren, dazu ziehen wir auf beiden Seiten x + 6 ab und erhalten:

$x\ -3\ \ =\ -2\cdot\sqrt{x\ +5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left|\ quadrieren\right|$ Beim Quadrieren ist jetzt links die 2. binomische Grundformel anzuwenden:

$x^{^2}\ -\ 2\cdot3\cdot x\ +\ 9\ \ =\ 4\cdot\left(x\ +\ 5\right)\ \ \ \ \ \ \left|\ \ Klammer\ ausmultiplizieren\right|$ $x^{^2}\ -\ 6\cdot x\ +\ 9\ =\ 4\cdot x\ +\ 20$ Wir bringen alles nach links, um eine quadratische Gleichung in typischer Schreibform herzustellen:

$x^{^2}\ -\ 10\cdot x\ -\ 11\ =\ 0$ Diese Gleichung hat die Lösungen -1 und 11. Von diesen Lösungen erfüllt allerdings nur -1 die vorgelegte Wurzelgleichung. Wenn du den Wert 11 in die Wurzelgleichung einsetzt und vereinfachst, erhältst du

$1\ +\ \sqrt{22\ +\ 3}\ =\ \sqrt{11\ +5}$ Daraus

$1\ +\sqrt{25}=\ \sqrt{16}$ und daraus

$1\ +\ 5\ =\ 4$ Was natürlich keine Gleichheit ist.

Hinweis: Wenn du die negativen Wurzelwerte verwendest, erhältst du -4 = -4. Da bei Wurzelgleichungen jedoch grundsätzlich nur positive Wurzelwerte verwendet werden, bleibt es dabei, dass 11 keine Lösung der Wurzelgleichung ist.

Bei Wurzelgleichungen ist immer mit jeder Lösung der erhaltenen quadratischen Gleichung die Einsetzprobe in die Wurzelgleichung zu machen, um "Nichtlösungen" auszusondern. Die Nichtlösungen entstehen übrigens, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist: Durch Quadrieren werden eine reelle Zahl und ihre negative Zahlauf die gleiche Quadratzahl abgebildet.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

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[BorisG2011]

Habe noch zwei Tippfehler ausgebessert, darunter ein flasches Forzeichen bei der ersten Anwendung der 2. binomischen Formel.

Answer 2

[gauss58]

vierte Zeile: x + 5 und nicht x + 25

Comments

[M4thematikus]

OK, ich dachte weil die 2 Bin Formel ist ja: a^2 + 2ab + b^2 und daher hatte ich 5^2 gerechnet

[gauss58]

@M4thematikus

Es fällt lediglich die Wurzel weg.